图论-最近公共祖先-在线树上倍增

有关概念：
　　最近公共祖先（LCA，Lowest Common Ancestors）：对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先表示u和v的深度最大的共同祖先。

　　树上倍增是求LCA的在线算法（对于每一个询问输入后即计算）

思路：

　　fa[i][j]表示编号为j的结点从下往上的第2ⁱ个祖先

　　即fa[0][j]表示j的父结点，递推式为fa[i][j]=fa[i-1][fa[i-1][j]]，即j的第2ⁱ个祖先为j的第2^i-1个祖先的第2^i-1个祖先

　　另：不存在第2ⁱ个祖先（即2ⁱ超过j的深度）时，f[i][j]指向根结点

　　求LCA的过程分两步，都类似于逐步逼近，先使指针从深度较深的结点向上逼近直至与另一结点深度相同，再让两个指针同时向上逼近LCA，即求出结果

样例推导：

求17、13，16、6，1、15的LCA

指针1指向13，指针2指向17

i=0时，指针2移至fa[i][17]，即12，使得深度与指针1相同

i=1时，fa[i][12]==fa[i][13]，两指针同时移至5，LCA(17,13)=5

指针1指向6，指针2指向16

i=1时，指针2移至fa[i][16]，即8，逼近指针1的深度

i=0时，指针2移至fa[i][8]，即5，使得深度与指针1相同

i=0时，fa[i][5]==fa[i][6]，两指针同时移至2，LCA(16,6)=2

指针1指向1，指针2指向15

i=2时，指针2移至fa[i][15]，即1，使得深度与指针1相同

发现指针1和指针2重合，LCA(1,15)=1

不知大家发现没有，指针1开始一直指向深度较小的结点，这个在程序中有体现，主要是减小代码量

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct edge
{
    int v,next,val;
}e[100005];
int n,m,heads[50005],fa[17][50005],dis[50005],dep[50005],cnt;
void add(int u,int v,int val)
{
    e[++cnt].next=heads[u];
    heads[u]=cnt;
    e[cnt].v=v;
    e[cnt].val=val;
}
void dfs(int u)//预处理dep和fa[0][j] 
{
    for(int i=heads[u];i;i=e[i].next)
    {
        if(e[i].v!=fa[0][u])
        {
            dep[e[i].v]=dep[u]+1;
            fa[0][e[i].v]=u;
            dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].val;
            dfs(e[i].v);
        }
    }
}
int LCA(int u,int v)
{
    if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
    for(int i=16;~i;i--)
        if(dep[fa[i][v]]>=dep[u])
            v=fa[i][v];
    if(u==v)return u;
    for(int i=16;~i;i--)
        if(fa[i][u]!=fa[i][v])
        {
            u=fa[i][u];
            v=fa[i][v];
        }
    return fa[0][u];
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    dep[1]=fa[0][1]=1;
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=16;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            fa[i][j]=fa[i-1][fa[i-1][j]];
    scanf("%d",&m);
    while(m--)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d
",dis[x]+dis[y]-2*dis[LCA(x,y)]);//两点之间路径长度 
    }
    return 0;
}