在网上看到一个关于递推求解的课件，感觉里面的问题很经典有趣，层层递进，因此在这里记录一下。
1、在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中的每一条在圆内同其他直线相交，假设没有三条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。
2、平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块？（已知1—>2，2—>7）
3、设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线能把平面分割成的区域个数。
4、在2*n的长方形方格中，用n个1*2的骨牌铺满方格，例如n = 3 时，为2*3方格，骨牌的铺设方案有三种，问对于n，铺设方案的总数是多少。
5、有一个1*n的一个长方形，用1*1、1*2、1*3的骨牌铺满方格。例如当n = 3 时为1*3的方格，此时用1*1，1*2，1*3的骨牌铺满方格，共有四种铺法。问对于n，铺设方案的总数是多少。
6、There are many students in PHT School. One day, the headmaster whose name is PigHeader wanted all students stand in a line. He prescribed that girl can not be in single. In other words, either no girl in the queue or more than one girl stands side by side. The case n=4 (n is the number of children) is like FFFF, FFFM, MFFF, FFMM, MFFM, MMFF, MMMM Here F stands for a girl and M stands for a boy. The total number of queue satisfied the headmaster’s needs is 7. Can you make a program to find the total number of queue with n children? 懒得翻译了：~
7、有排成一行的n个方格，用红、绿、蓝三原色给每个格子上色，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色。求全部的满足要求的涂法。
8、某人写了n封信，还有n个信封，如果所有的信都装错了信封，求共有多少种可能的情况？
————————————————————————^^我是漂亮的分割线^^————————————————————————
参考答案：
1、F(1) = 2; F(n) = F(n-1) + n 通项：F(n) = n(n+1)/2 + 1
2、F(1) = 2; F(n) = F(n-1) + 4(n-1) + 1 通项：F(n) = 2n^2 - n + 1
3、F(1) = 2; F(n) = F(n-1) + 2(n-1) 通项：F(n) = n^2 - n + 2
4、考虑最后一个格的铺法，容易得到：F(1) = 1, F(2) = 2; F(n) = F(n-1) + F(n-2), n≥3
5、仍然是考虑最后一个格的铺法，有：F(1) = 1, F(2) = 2, F(3) = 4; F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-3), n≥4
6、根据最后一个人的性别分情况讨论（设F(n)表示n个人的合法队列）。如果是男生，直接站在队列的最后，有F(n-1)种情况。如果是女生，则最后两个人必须都是女生，再分类：如果队列的前n-2个人是合法的队列，在队列后面追加两个女生，有F(n-2)种情况；另外，即使前面n-2个人不是合法的队列，再加上两个女生也可能是合法队列，且不合法的地方一定是长度为n-2的队列的尾部，即F(n-4) + 1男 + 1女，这样再跟上两个女生才能成为合法队列，这种情况有F(n-4)种。
综上，有递推公式：F(1) = 1, F(2) = 2, F(3) = 4, F(4) = 7; F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-4), n＞4
7、如果前面n-1个格子已经合法地涂上色，则最后一个格子只有唯一地一种涂法，有F(n-1)种方法；另外一种情况是前n-1个格子不是合法的，那么不合法的地方一定是其尾部，即第n-1个格子与第1个格子同色，那么最后一个格子有两种涂法，因此有2*F(n-2)种方法。
综上，有递推公式：F(1) = 3, F(2) = 6; F(n) = F(n-1) + 2*F(n-2), n>2
8、如果前n-1封信已经全部错装，只需从中任取一封和第n封错装，有(n-1)*F(n-1)种方式；另外如果前n-1封信中有且只有一封信没有装错（注意只能有一封，否则就呵呵了：），有(n-1)*F(n-2)种方式。
综上，有递推公式：F(1) = 0, F(2) = 1; F(n) = (n-1)*[F(n-1) + F(n-2)]。另外，它还有一个帅气的名字叫做错排公式。
PS:斐波那契数列实在太有用了，哪天有空写一下如何用生成函数求解其通项公式。