排队
- 描述
- 周末了，软件ACM的队员准备玩玩游戏，娱乐一下，CY想了一个好主意，所有队员站成一个圈，从1开始报数，凡是报出指定数字的人要出列，有人出列后，下个人重新从1开始报数。最后一位“幸存者”要给大家表演个节目。由于队员正在不断的壮大，C小加又想知道他是否需要准备表演，请你设计个程序，帮他确定他是否是“幸存者”。
- 输入
- 第一行是n，有n次游戏，第二行是m，x，表示某次游戏有m个人，指定被请出列的数字为x。其中n<100,m<1000
- 输出
- 最后幸存的那位的原来的号码
- 样例输入
-
2 10 5 6 4
- 样例输出
-
3 5
- 来源
- [侯飒飒]原创
- 上传者
- 侯飒飒
-
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 int main() 4 { 5 int T; 6 cin>>T; 7 while(T--) 8 { 9 int i,m,x,s=0; 10 cin>>m; 11 cin>>x; 12 for(i=2;i<=m;i++) 13 s=(s+x)%i; 14 cout<<s+1<<endl; 15 } 16 return 0; 17 }
//约瑟夫环问题
问题描述：n个人（编号1~n)，从1开始报数，报到m的退出，剩下的人继续从1开始报数。求胜利者的编号。数学解法复杂度：O(n)。
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：