题目描述
小`A`有一棵 $N$ 个点的树,每个点都有一个小于 $2^{20}$ 的非负整数权值。现在小`A`从树中随机选择一个点 $x$ ,再随机选择一个点 $y$ ( $x,y$ 可以是同一个点),并对从 $x$ 到 $y$ 的路径上所有的点的权值分别做 $ ext{and}$ 、 $ ext{or}$ 、 $ ext{xor}$ 运算,最终会求得三个整数。小`A`想知道,他求出的三个数的期望值分别是多少。
题解
考虑拆位,即我们考虑一棵点权为 $0/1$ 的树,操作后为 $1$ 的链有多少条。
于是做个 $ ext{dp}$ : $f[i][0/1]$ 表示 $i$ 子树内,到 $i$ 经操作后为 $0/1$ 的链有多少条,每次 $son$ 合并上来的时候计算答案即可。
效率: $O(20n)$ 。
代码
#include <bits/stdc++.h> #define db double using namespace std; const int N=1e5+5;db k,s[3]; int T,n,hd[N],V[N<<1],nx[N<<1],t,f[3][2][N],a[N],b[N]; void add(int u,int v){ nx[++t]=hd[u];V[hd[u]=t]=v; } void dfs(int u,int fr){ for (int j=0;j<3;j++) f[j][b[u]][u]=1,f[j][!b[u]][u]=0; for (int v,i=hd[u];i;i=nx[i]){ if ((v=V[i])==fr) continue;dfs(v,u); s[0]+=k*f[0][1][u]*f[0][1][v]; s[1]+=k*f[1][1][u]*f[1][1][v]+k*f[1][1][u]*f[1][0][v]+k*f[1][0][u]*f[1][1][v]; s[2]+=k*f[2][0][u]*f[2][1][v]+k*f[2][1][u]*f[2][0][v]; for (int j=0;j<2;j++) f[0][j&b[u]][u]+=f[0][j][v], f[1][j|b[u]][u]+=f[1][j][v], f[2][j^b[u]][u]+=f[2][j][v]; } } void work(){ scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for (int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v), add(u,v),add(v,u); k=1;s[0]=s[1]=s[2]=0; for (int i=0;i<20;i++){ for (int j=1;j<=n;j++){ b[j]=(a[j]>>i)&1; if (b[j]) s[0]+=k,s[1]+=k,s[2]+=k; } k*=2;dfs(1,0); } for (int i=0;i<3;i++) printf("%.3lf%c",s[i]/(1.*n*n),i<2?' ':' '); for (int i=1;i<=n;i++) hd[i]=0;t=0; } int main(){for (cin>>T;T--;work());return 0;}