树

题目描述

给定一棵大小为 $N$ ，以 $1$ 为根的有根树，每条边的初始权值是 $c_i$ ，单位修改代价是 $d_i$ 。将一条边 $i$ 的权值修改为 $X$ ( $X$ 必须为整数，但可以为负) 的代价为 $d_i × |c_i − X|$ 。
你可以任意调整每条边的权值，使得从根节点到每个叶子的距离都相等，请你求出
最小代价, 并输出一种方案。

数据范围

le N le 2 imes 10^5；1 le c_i,d_i le 10^6

题解

考虑 $dp$ ， $f_{i,j}$ 表示 $i$ 子树内的叶子节点到 $i$ 的距离为 $j$ 的最小代价， $g_{i,j}$ 表示 $i$ 子树内的叶子节点到 $fa_i$ 的距离为 $j$ 的最小代价。

发现 $f_i$ 和 $g_i$ 都是下凸壳， $f_i$ 是由 $g_v$ 合并起来的下凸壳， $g_i$ 是由 $f_i$ 先向右平移 $c_i$ ，然后把两端效率大于 $d_i$ 的直线斜率改成 $d_i$ 的下凸壳。发现平移很麻烦，可以先将叶子节点的下凸壳先全部平移到 $deep$ 的位置，然后每个位置维护两边斜率的变化值即可。

最优方案即为根节点的凸壳的最下端的点对应的取值，考虑以此递归下去得到方案：对于一个儿子 $v$ ，如果 $v$ 子树可自行解决，即无需修改 $c_v$ 就可符合要求，则直接下去做，否则将 $c_v$ 改为最接近的能使 $v$ 子树自行解决的值。

代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N=2e5+5,M=N*70;
const LL F=3e11; vector<int>g[N];
int n,fa[N],T[N],t,ls[M],rs[M];
LL dp[N],c[N],d[N],lf[N],rf[N],s[M],f[N],dt[N],ans;
#define mid ((l+r)>>1)
void upd(int &x,LL l,LL r,LL v,LL w){
    s[x=++t]=w;if (l==r) return;
    if (mid>=v) upd(ls[x],l,mid,v,w);
    else upd(rs[x],mid+1,r,v,w);
}
int merge(int x,int y){
    if (!x || !y) return (x|y);
    int z=++t;s[z]=s[x]+s[y];
    ls[z]=merge(ls[x],ls[y]);
    rs[z]=merge(rs[x],rs[y]);
    return z;
}
LL qL(int x,LL l,LL r,LL v){
    if (l==r) return l;s[x]-=v;
    if (s[ls[x]]>=v) return qL(ls[x],l,mid,v);
    else{
        v-=s[ls[x]];ls[x]=0;
        return qL(rs[x],mid+1,r,v);
    }
}
LL qR(int x,LL l,LL r,LL v){
    if (l==r) return l;s[x]-=v;
    if (s[rs[x]]>=v) return qR(rs[x],mid+1,r,v);
    else{
        v-=s[rs[x]];rs[x]=0;
        return qR(ls[x],l,mid,v);
    }
}
void solve(int u,LL x){
    int z=g[u].size();LL w;
    for (int v,i=0;i<z;i++){
        v=g[u][i];f[v]=c[v];w=x;
        if (lf[v]!=-1){
            if (w<lf[v])
                f[v]-=lf[v]-w,w=lf[v];
            else if (w>rf[v])
                f[v]+=w-rf[v],w=rf[v];
        }
        solve(v,w);
    }
}
LL Abs(LL x){return x>=0?x:-x;}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=2,x;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d",&x,&c[i],&d[i]),
        g[x].push_back(i),dp[i]=dp[x]+c[i];
    for (int i=n,z;i;i--){
        if (g[i].empty()){
            lf[i]=rf[i]=dp[i];dt[i]=d[i];
            upd(T[i],0,F,dp[i],d[i]<<1);
            continue;
        }
        z=g[i].size();
        for (int v,j=0;j<z;j++)
            T[i]=merge(T[i],T[v=g[i][j]]),dt[i]+=dt[v];
        lf[i]=rf[i]=-1;if (i==1) break;
        if (dt[i]>d[i]){
            lf[i]=qL(T[i],0,F,dt[i]-d[i]);
            rf[i]=qR(T[i],0,F,dt[i]-d[i]);
            dt[i]=d[i];
        }
    }
    solve(1,qL(T[1],0,F,dt[1]));
    for (int i=2;i<=n;i++)
        ans+=Abs(f[i]-c[i])*d[i];
    printf("%lld
",ans);
    for (int i=2;i<=n;i++)
        printf("%lld
",f[i]);
    return 0;
}