区间DP

啊~~

我来了，

蒟蒻！！！

十分无厘头！

今天我们来介绍一下线性dp的进阶区间dp

对于区间dp来说，是一类题型，也是dp的重要考点、

对于动态规划，我们知道“阶段”是最重要的，那区间dp的状态就是区间长度。

它常常来解决一些区间问题，由于一些区间太大，所以我们将大区间化为小区间，然后将小区间进行动态规划，最后再一步步合成所求区间。

这就是区间dp的基本思路。当然我们一会儿将会提到记忆化搜索与区间dp的结合应用。

首先，我们来看一道基础区间dp

石子合并（线性版）：

题目描述

设有N堆沙子排成一排，其编号为1，2，3，…，N（N<=300）。每堆沙子有一定的数量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆沙子合并成为一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆沙子的数量之和，合并后与这两堆沙子相邻的沙子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同，如有4堆沙子分别为 1  3  5  2 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24，如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22；问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小。输出最小代价。

输入格式

第一行一个数N表示沙子的堆数N。
第二行N个数，表示每堆沙子的质量(<=1000)。

输出格式

合并的最小代价

样例输入

4
1 3 5 2

样例输出

22

看完题，我们一种暴力的想法就是一个一个枚举，当然这样我们会理所当然的TLE（傻子都知道好吗！！）

这时，我们可以换个思路，我们假设两堆石子l和r，当两堆石子可以被合并时，代表l到r中间的所有石子都已经被合并了，只有这样才能时l和r两堆石子相邻。

且其中的石子数量是∑^r_i=lAi,所以，我们可以知道一定存在一个k（l≤k<r），可以使l到r中间的所有石子合并起来。即：

在[l,k]的石子与[k+1,r]之间的石子合并，并最终得到[l,r]之间的石子。

所以，我们就可以推出状态转移方程：

for(int len=1;len<=n;len++){//表示阶段，表示每一次最多可以有几堆被合并 
        for(int l=1;l<=n-len+1;l++){//表示状态，左端点 
            int r=l+len-1;//表示右端点
            for(int k=l;k<r;k++){//决策点，又名中途转折点
                f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1]);//状态转移方程 
            } 

这样我们就解决这个问题，最后处理一下答案然后输出即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 307
int f[maxn][maxn],n,sum[maxn],a[maxn];
//template<typename __Type_of_scan>
//void scan(__Type_of_scan &x){
//    __Type_of_scan f=1;x=0;char s=getchar();
//    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
//    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
//    x*=f;
//}
int main(){
//    scan(n);
    scanf("%d",&n);
//    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(f,0x3f,sizeof(f));//初始化 
    for(int i=1;i<=n;i++){
//        scan(a[i]);
        scanf("%d",&a[i]);
        f[i][i]=0;//进行清零 
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];//求前缀和 
    }
//    for(int i=1;i<=n;i++){
//        f[i][i]=0;
//        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
//    }
    for(int len=1;len<=n;len++){//表示阶段，表示每一次最多可以有几堆被合并 
        for(int l=1;l<=n-len+1;l++){//表示状态，左端点 
            int r=l+len-1;//表示右端点
            for(int k=l;k<r;k++){//决策点，又名中途转折点
                f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1]);//状态转移方程 
            } 
//            f[l][r]+=sum[r]-sum[l-1];//更新每个点的权值 
        }
    }
//    int minn=0x3f;
//    int maxx=0;
//    for(int i=1;i<=n;i++){
//        minn=min(minn,f[i][n-i+1]);
//        maxx=max(maxx,f[i][n-i+1]);
//    } 
//    printf("%d
",minn);
//    printf("%d
",maxx);
    printf("%d",f[1][n]);
    return 0;
}

下面，我们来看一看加大难度的石子合并

环形石子合并

题目描述：

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

输入输出格式

输入格式：

数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.

输出格式：

输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.

输入输出样例

输入样例#1：

4
4 5 9 4

输出样例#1：

43
54

提示一下：把环变成链即可

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 307
int f1[maxn][maxn],n,sum[maxn],a[maxn],f2[maxn][maxn];
//template<typename __Type_of_scan>
//void scan(__Type_of_scan &x){
//    __Type_of_scan f=1;x=0;char s=getchar();
//    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
//    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
//    x*=f;
//}
int main(){
//    scan(n);
    scanf("%d",&n);
//    memset(sum,0,sizeof(sum));
//    memset(f2,0x3f,sizeof(f2));//最大值数组初始化 
    for(int i=1;i<=n;i++){
//        scan(a[i]);
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i+n]=a[i];//因为是环，所以要存两倍数 
//        f2[i][i]=0;
//        f1[i][i]=0;//进行清零 
//        sum[i]=sum[i-1]+a[i];//求前缀和 
    }
    for(int i=1;i<=n*2;i++){
        f1[i][i]=0;
        f2[i][i]=0;
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];}//求前缀和 
    for(int len=2;len<=n;len++){//表示阶段，表示每一次最多可以有几堆被合并 
        for(int l=1;l<=2*n-len;l++){//表示状态，左端点 
            int r=l+len-1;//表示右端点
            f2[l][r]=0x3f3f3f3f;//每一次p跑最小值时都要把这个点f2初始为最大
            for(int k=l;k<r;k++){//决策点，又名中途转折点，区间断点 
                f1[l][r]=max(f1[l][r],f1[l][k]+f1[k+1][r]);//f1表示最大值状态转移方程 
                f2[l][r]=min(f2[l][r],f2[l][k]+f2[k+1][r]);//f2表示最小值状态转移方程 
            } 
            f1[l][r]+=(sum[r]-sum[l-1]);//更新每个点的权值 
            f2[l][r]+=(sum[r]-sum[l-1]);
        }
    }
//    for(int l=2;l<=n;l++){
//        for(int p=1;p<=2*n-l;p++){
//            int j=p+l-1;
//            f1[p][j]=0;                //f1表示最大值，f2表示最小值 
//            f2[p][j]=1926817;      //初始化最大最小值 
//        for(int k=p;k<j;k++){   //k表示区间断点 
//            f1[p][j]=max(f1[p][j],f1[p][k]+f1[k+1][j]);   // 
//            f2[p][j]=min(f2[p][j],f2[p][k]+f2[k+1][j]);   // 
//        } 
//        f1[p][j]+=(sum[j]-sum[p-1]);
//        f2[p][j]+=(sum[j]-sum[p-1]);
//        }
//    }
//    int minn=0x3f;
//    int maxx=0;
//    for(int i=1;i<=n;i++){
//        minn=min(minn,f1[i][n-i+1]);
//        maxx=max(maxx,f2[i][n-i+1]);
//    } 
    int dp1=0;
    int dp2=0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp1=max(dp1,f1[i][i+n-1]);
        dp2=min(dp2,f2[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d
",dp2);
    printf("%d
",dp1);
//    printf("%d",f[1][n]);
    return 0;
}

 于是，看完石子合并这个十分基础的题，我们来看一看一道poj1179

这也是一道十分经典的区间dp的题，大家可以做一做，给点提示：把环变链再缩短，最后出答案（注意最大最小值的更新）。

这道题的→_→  题解~~

在给大家推荐一道题，是一道《算法进阶指南》的题，金字塔

区间dp题目推荐（持续更新）

洛谷P1063（能量项链）

洛谷P1220（多维区间dp）