本文关于图的概述主要引自《新编数据结构习题与解析》（李春葆等著）第11章。
1. 图的基本概念
1.1 图
图G由两个集合V和E组成，记为G=(V, E)，其中V是顶点的有限非空集合，E是V中顶点偶对的有限集，这些顶点偶对 称为边。
1.2 无向图
在图G中，如果代表边的顶点偶对是无序的，则称G为无向图。
1.3 有向图
在图G中，如果表示边的顶点偶对是有序的，则称G为有向图。一个图要么为无向图，要么为有向图，不存在部分为有向图或无向图的情况。
1.4 完全图
若图中的每两个顶点之间都存在着一条边，称该图为完全图。完全有向图有n(n-1)条边，完全无向图有n(n-1)/2条边。
1.5 端点和邻接点
在一个无向图中，若存在一条边(i, j)，则称顶点i和顶点j为该边的两个端点，并称它们互为邻接点。
在一个有向图中，若存在一条边<i, j>，则称顶点i和j为该边的两个端点，也称它们互为邻接点，这里，顶点i为起点，顶点j为终点。
1.6 顶点的度、入度和出度
在无向图中，顶点所具有的边的数目称为该顶点的度。
在有向图中，顶点v的度又分为入度和出度，以顶点v为终点的入边的数目，称为该顶点的入度；以顶点v为起点的出边的数目，称为该顶点的出度。一个顶点的入度和出度的和称为该顶点的度。在一个具有e条边的图中有：度之和为2e。
1.7 子图
设有两个图G=(V, E)和G'=(V', E')，若V'是V的子集，且E'是E的子集，则称G‘是G的子图。
1.8 路径和路径长度
在一个图G=(V, E)中，从顶点i到顶点j的一条路径是一个顶点序列(i, i1, i2, ..., im, j)，若此图G是无向图，则边(i, i1), (i1, i2), ...(im, j) 属于E(G)；若此图是有向图，则<i, i1>, <i1, i2>, ...<im, j> 属于E(G)。路径长度是指一条路径上经过的边的数目。若一条路径上除开始点和结束点可以相同外，其余顶点均不相同，则称此路径为简单路径。
1.9 树图
任意两个顶点之间只有一条路径的无向连通图称为树图。n个顶点的树图恰好有n-1条边。
对于一个含有V个结点的树图G，它满足以下几个条件（一个图满足以下条件之一就是一棵树）：
1）G有V-1条边且不含有环；
2）G有V-1条边且是连通的；
3）G是连通的，但删除任意一条边都会使它不再连通；
4）G是无环图，但添加任意一条边都会产生一条环；
5）G中的任意一对顶点之间仅存在一条简单路径。
1.10 回路或环
若一条路径上的开始点与结束点为同一个顶点，则此路径称为回路或环。开始点与结束点相同的简单路径被称为简单回路或简单环。
1.11 连通、连通图和连通分量
在无向图G中，若从顶点i到顶点j有路径，则称顶点i和顶点j是连通的。若图G中任意两个顶点都连通，则称G为连通图，否则称为非连通图。无向图G中的极大连通子图称为G的连通分量。显然，任何连通图的连通分量只有一个，即为自身，而非连通图可能有多个连通分量。
1.12 强连通图和强连通分量
在有向图G中，若从顶点i到顶点j有路径，则称从顶点i到顶点j是连通的。若图G中的任意两个顶点i和顶点j都连通，即从顶点i到顶点j和从顶点j到顶点i都存在路径，则称图G是强连通图。有向图G中的极大强连通子图称为G的强连通分量。显然，强连通图只有一个强连通分量，即自身，非强连通图有多个强连通分量。
1.13 稠密图、稀疏图
当一个图接近完全图时，则称为稠密图；相反，当一个图含有较少的边数（即当e<<n(n-1)）时，则称为稀疏图。
1.14 权和网
图中每一条边都可以附有一个对应的数，这种与边相关的数称为权。权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或花费的代价。边上带有权的图称为带权图，也称作网。
2. 图的存储结构
图有多种存储方式，其中最基本的两种存储方式为邻接矩阵和邻接表。
2.1 邻接矩阵
邻接矩阵是一种表示顶点之间邻接关系的矩阵。
2.1.1 无向图
设G=(V, E)是具有n个顶点的不带权无向图，则G的邻接矩阵是具有如下定义的n阶方阵A：
A[i][j] = 1 ：表示有边(i, j)
A[i][j] = 0 ：表示没有边(i, j) (0 <= i, j <= n-1)
A[i][i] = 0 ：表示顶点i到自身没有边
设G=(V, E)是具有n个顶点的带权无向图，则G的邻接矩阵是具有如下定义的n阶方阵A：
A[i][j] = wij ：表示有边(i, j)，wij指边的权值
A[i][j] = ∞ ：表示没有边(i, j) (0 <= i, j <= n-1)
A[i][i] = 0 ：表示顶点i到自身没有边
如下图中，无向图9.1(a)对应的邻接矩阵为图9.1(b)：
2.1.2 有向图
设G=(V, E)是具有n个顶点的不带权有向图，则G的邻接矩阵是具有如下定义的n阶方阵A：
A[i][j] = 1 ：表示有边<i, j>
A[i][j] = 0 ：表示没有边<i, j> (0 <= i, j <= n-1)
A[i][i] = 0 ：表示顶点i到自身没有边
设G=(V, E)是具有n个顶点的带权有向图，则G的邻接矩阵是具有如下定义的n阶方阵A：
A[i][j] = wij ：表示有边<i, j>，wij指边的权值
A[i][j] = ∞ ：表示没有边<i, j> (0 <= i, j <= n-1)
A[i][i] = 0 ：表示顶点i到自身没有边
邻接矩阵是图的顺序存储结构，从邻接矩阵的行数或列数可知图的顶点数，无向图的邻接矩阵总是对称的，有向图的邻接矩阵不一样是对称的。
图的邻接矩阵存储结构的类型声明如下：
1 #define MAXV <最大顶点个数> 2 typedef char ElemType 3 typedef struct 4 { 5 int no; // 顶点编号 6 ElemType info; // 顶点其他信息 7 }VertexType; // 顶点类型 8 9 typedef struct // 图的定义 10 { 11 int edges[MAXV][MAXV]; // 邻接矩阵 12 int n, e; // 分别为顶点数和边数 13 VertexType vexs[MAXV]; // 存放顶点信息 14 }MGraph; // 声明图的邻接矩阵类型
2.2 邻接表
邻接表是图的一种链式存储结构，它用n个单链表替代邻接矩阵的n行，即对图中的每个顶点i建立一个单链表，把与顶点i邻接的顶点放在一个链表中。邻接表中的每个单链表的头节点存放有关顶点信息，称为表头节点，其余节点存放有关边的信息，称为边表节点。
例如，如图9.2所示，有向图9.2(a)对应的邻接表为图9.2(b)。
邻接表的表头节点数为图中的顶点数。对于无向图的邻接表，边表节点数是图中边数的两倍；对于有向图的邻接表，边表节点数等于图中边数。
图的邻接表存储结构的类型声明如下：
1 #define MAXV <最大顶点个数> 2 typedef char ElemType; 3 typedef int InfoType; 4 typedef struct ANode 5 { 6 int adjvex; // 该边的终点位置 7 struct ANode * nextarc; // 指向下一条边的指针 8 InfoType info; // 该边的相关信息，对于带权图可存放权值 9 }ArcNode; // 边的节点结构类型 10 11 typedef struct Vnode 12 { 13 ElemType data; // 顶点信息 14 ArcNode *firstarc; // 指向第一条边 15 }VNode; // 邻接表头节点的类型 16 17 typedef VNode AdjList[MAXV] // AdjList是邻接表类型 18 typedef struct 19 { 20 AdjList adjlist; // 邻接表 21 int n, e; // 分别为图中的顶点数和边数 22 }AGraph; // 声明图的邻接表类型