• 【2018北京集训十二】 coin 矩阵快速幂


    矩阵快速幂原来还可以这么用??

    你们城里人还真会玩。

    我们令$f[i][j][k]$表示总的钱数为i,当前使用的最大面值硬币的面值为$v_j$,最小为$v_k$的方案数量。

    不难发现$f[i][j][k]=sum f[a][j][l] imes f[b][l][k] $其中$l∈[k,j],a+b=i$。

    很显然,这个转移过程不就是矩阵乘法的过程吗??

    考虑到$forall v_i>v_j$,有$gcd(v_i,v_j)=v_j$,则$f[v_i]$可以由$f[v_j]$通过矩阵乘法转移得到。

    最后再简乘一下就得到答案了。

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 #define M 51
     3 #define L long long
     4 #define MOD 998244353
     5 using namespace std;
     6 int n; L m,v[M]={0}; 
     7 struct matrix{
     8     L a[M][M];
     9     matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    10     friend matrix operator *(matrix a,matrix b){
    11         matrix c;
    12         for(int i=1;i<=n;i++)
    13         for(int j=1;j<=n;j++)
    14         for(int k=1;k<=n;k++)
    15         c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%MOD;
    16         return c;
    17     }
    18     friend matrix operator ^(matrix a,L b){
    19         matrix ans=a; b--;
    20         while(b){
    21             if(b&1) ans=ans*a;
    22             a=a*a; b>>=1;
    23         }
    24         return ans;
    25     }
    26     void danwei(){
    27         for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=1;
    28     }
    29 }ans,a[M]; 
    30 int main(){
    31     scanf("%d%lld",&n,&m);
    32     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",v+i);
    33     sort(v+1,v+n+1);
    34     a[1].a[1][1]=1;
    35     for(int i=2;i<=n;i++){
    36         L t=v[i]/v[i-1];
    37         a[i]=a[i-1]^t;
    38         for(int j=1;j<=i;j++) a[i].a[i][j]++;
    39     }
    40     ans.danwei();
    41     for(int i=n;i;i--)
    42     if(m/v[i]){
    43         L t=m/v[i];
    44         ans=ans*(a[i]^t);
    45         m=m%v[i];
    46     }
    47     L hhh=0;
    48     for(int i=1;i<=n;i++) hhh=(hhh+ans.a[i][1])%MOD;
    49     printf("%lld
    ",hhh);
    50 }
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