【2019北京集训2】Elephant 平衡树

题目大意：给你一个长度为$n$的序列$A_i$，有$q$次操作，每次操作为以下三种之一：

询问区间的$F_M(A_i)$的最大公约数。

区间翻转，区间加一个正数。

我们定义$gcd(0,0)=0$，且$F_M(A_i)$为在一个$M$个点的无向完全图中从第一个点开始走$k$步后回到第一个点的方案数。

数据范围：$n,q≤10^5$，$0≤A_i≤10^8$，$2≤M≤10^9$。

我们先考虑下如何求$F_M(x)$。

经过打表（大雾），我们发现：

若$x$为偶数，则$F_M(x)=M imes(F_M(x-1)+1)$

若$x$为奇数，则$F_M(x)=M imes(F_M(x-1)-1)$

特别地，$F_M(0)=1$，$F_M(1)=0$

我们显然可以$O(2 imes 10^8)$预处理或者直接矩阵快速幂计算。

继续打表，我们发现：$gcd(F_M(x-1),F_M(y-1))=F_M(gcd(x-1,y-1))$，感兴趣的同学可以证明一下（反正我不会）

我们发现，如果询问的区间中存在数字0，则这个区间的GCD显然为1

考虑到要资瓷区间翻转，区间查询0的个数，区间抹去0，对于这部分我们需要单独开一棵splay来维护。

考虑维护>1部分的数。

我们先不考虑翻转的情况。

我们将差分后的数列丢入一棵splay中，每个节点维护整棵子树内的权值和，还有子树内的GCD

我们需要查询区间$[l,r]$的$GCD$时，我们只需要查询$[l+1,r]$的区间GCD，然后再和第$l$个位置的值求GCD即可输出。

原因显然

考虑翻转区间$[l,r]$的情况：不难发现受到影响的区间为$[l,r+1]$。

然后，经过冷静分析（大雾），我们发现翻转前后有这样的性质：

1，第$l$个位置的查分值和第$r+1$个位置的差分值需要单独更新。

2，区间$[l+1,r]$内的差分值等于原区间$[l+1,r]$内的差分值翻转再取相反数。

上面这张图是一个例子，证明显然。

然后，我们开几个标记打一下就可以了。

然后就没有然后了，注意细节

时间复杂度：$O(nlog^2 n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define M 200005
#define MOD 323232323
#define L long long
#define lc(x) ch[(x)][0]
#define rc(x) ch[(x)][1]
using namespace std;

int GCD(int x,int y){return __gcd(abs(x),abs(y));}

struct mat{
    L a[3][3]; mat(){memset(a,0,sizeof(a));}
    void danwei(){a[0][0]=a[1][1]=a[2][2]=1;}
    friend mat operator *(mat a,mat b){
        mat c;
        for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
        for(int k=0;k<3;k++)
        c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%MOD;
        return c;
    }
    friend mat operator ^(mat x,int b){
        mat ans; ans.danwei();
        while(b){
            if(b&1) ans=ans*x;
            x=x*x; b>>=1;
        }
        return ans;
    }
};
L P;
L getans(int n){
    if(n==0) return 0;
    mat a;
    a.a[0][1]=a.a[2][2]=1;
    a.a[1][0]=P*P%MOD;
    a.a[2][0]=(P-1+MOD)%MOD;
    a=a^(n-1);
    L res=a.a[2][0]*P%MOD;
    if(n&1) res=P*(res+1)%MOD;
    return res;
}

namespace FF{
    int siz[M]={0},ch[M][2]={0},sum[M]={0},tagf[M]={0},val[M]={0},rev[M]={0},fa[M]={0},use=0;

    int root=0;
    void pushup(int x){
        siz[x]=siz[lc(x)]+siz[rc(x)]+1;
        sum[x]=sum[lc(x)]+sum[rc(x)]+val[x];
    }
    void upd(int x){rev[x]^=1; swap(lc(x),rc(x)); }
    void cls(int x){tagf[x]=1; sum[x]=val[x]=0;}
    void pushdown(int x){
        if(rev[x]) upd(lc(x)),upd(rc(x)); rev[x]=0;
        if(tagf[x]) cls(lc(x)),cls(rc(x)); tagf[x]=0;
    }
    void rotate(int x,int &k){
        int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
        l=(ch[y][0]!=x); r=l^1;
        if(y==k) k=x;
        else{
            if(lc(z)==y) ch[z][0]=x;
            else ch[z][1]=x;
        }
        fa[y]=x; fa[x]=z; fa[ch[x][r]]=y;
        ch[y][l]=ch[x][r]; ch[x][r]=y;
        pushup(y); pushup(x);
    }
    void pud(int x,int k){if(x!=k) pud(fa[x],k); pushdown(x);}
    
    void splay(int x,int &k){
        pud(x,k);
        while(x!=k){
            int y=fa[x],z=fa[y];
            if(y!=k){
                if((lc(y)==x)==(lc(z)==y)) rotate(y,k);
                else rotate(x,k);
            }
            rotate(x,k);
        }
    }
    int insert(int x,int id,int zhi){
        pushdown(x);
        if(!x){x=++use; val[x]=zhi;}
        else{
            if(siz[lc(x)]+1<=id) rc(x)=insert(rc(x),id-siz[lc(x)]-1,zhi),fa[rc(x)]=x; 
            else lc(x)=insert(lc(x),id,zhi),fa[lc(x)]=x;
        }
        pushup(x); return x;
    }
    int find(int x,int k){
        pushdown(x);
        if(siz[lc(x)]+1==k) return x;
        if(siz[lc(x)]>=k) return find(lc(x),k);
        return find(rc(x),k-siz[lc(x)]-1);
    }
    void ins(int x,int k){
        root=insert(root,k,x);
        splay(use,root);
    }
    
    int query(int x,int y){
        int X=find(root,x),Y=find(root,y+2);
        splay(X,root); splay(Y,rc(root));
        return sum[lc(Y)];
    }
    void updata(int x,int y){
        int X=find(root,x),Y=find(root,y+2);
        splay(X,root); splay(Y,rc(root));
        cls(lc(Y)); 
        pushup(Y); 
        pushup(root);
    }
    void setrev(int x,int y){
        int X=find(root,x),Y=find(root,y+2);
        splay(X,root); splay(Y,rc(root));
        upd(lc(Y));
    }
}

int siz[M]={0},ch[M][2]={0},gcd[M]={0},sum[M]={0},val[M]={0},rev[M]={0},fa[M]={0},use=0;

int root=0;
void pushup(int x){
    siz[x]=siz[lc(x)]+siz[rc(x)]+1;
    sum[x]=sum[lc(x)]+sum[rc(x)]+val[x];
    gcd[x]=GCD(GCD(gcd[lc(x)],gcd[rc(x)]),val[x]);
}
void upd(int x){rev[x]^=1; swap(lc(x),rc(x)); sum[x]=-sum[x]; val[x]=-val[x];}
void pushdown(int x){if(rev[x]) upd(lc(x)),upd(rc(x)); rev[x]=0;}
void rotate(int x,int &k){
    int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
    l=(ch[y][0]!=x); r=l^1;
    if(y==k) k=x;
    else{
        if(lc(z)==y) ch[z][0]=x;
        else ch[z][1]=x;
    }
    fa[y]=x; fa[x]=z; fa[ch[x][r]]=y;
    ch[y][l]=ch[x][r]; ch[x][r]=y;
    pushup(y); pushup(x);
}
void pud(int x){if(x!=root) pud(fa[x]); pushdown(x);}

void splay(int x,int &k){
    pud(x);
    while(x!=k){
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(y!=k){
            if((lc(y)==x)==(lc(z)==y)) rotate(y,k);
            else rotate(x,k);
        }
        rotate(x,k);
    }
}
int insert(int x,int id,int zhi){
    pushdown(x);
    if(!x){x=++use; val[x]=zhi;}
    else{
        if(siz[lc(x)]+1<=id) rc(x)=insert(rc(x),id-siz[lc(x)]-1,zhi),fa[rc(x)]=x; 
        else lc(x)=insert(lc(x),id,zhi),fa[lc(x)]=x;
    }
    pushup(x); return x;
}
int find(int x,int k){
    pushdown(x);
    if(siz[lc(x)]+1==k) return x;
    if(siz[lc(x)]>=k) return find(lc(x),k);
    return find(rc(x),k-siz[lc(x)]-1);
}
void ins(int x,int k){
    root=insert(root,k,x);
    splay(use,root);
}
void del(int k){
    int x=find(root,k); splay(x,root);
    int y=find(root,k+1); lc(y)=lc(x); 
    fa[lc(x)]=y; fa[rc(x)]=0; root=rc(x);
    splay(y,root); 
    
}

int getval(int id){
    int x=find(root,id+1);
    splay(x,root);
    return val[x]+sum[lc(x)];
}
int query(int x,int y){
    if(x>y) return 0;
    int X=find(root,x),Y=find(root,y+2);
    splay(X,root);
    splay(Y,rc(root));
    return gcd[lc(Y)];
}
void updata(int id,int delta){
    int x=find(root,id);
    splay(x,root);
    val[x]+=delta;
    pushup(x);
}

void setrev(int x,int y){
    int X=find(root,x),Y=find(root,y+2);
    splay(X,root);
    splay(Y,rc(root));
    upd(lc(Y));
    pushup(lc(Y)); 
    splay(lc(Y),root);
}

void setval(int x,int V){
    int X=find(root,x+1);
    splay(X,root);
    val[X]=V;
    pushup(X);
}

int n,m,a[M]={0};

int main(){
    ins(0,0); ins(0,0);
    FF::ins(0,0); FF::ins(0,0);
    int cas; scanf("%d",&cas);
    scanf("%d%d%d",&P,&n,&m); P--; 
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),a[i]--;
    
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        ins(a[i]-a[i-1],i);
        FF::ins(a[i]==-1,i);
    }
    
    while(m--){
        int op,x,y;
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1){
            int F=FF::query(x,y);
            if(F) {printf("1
"); continue;}
            int ans=query(x+1,y);
            int las=getval(x);
            printf("%lld
",getans(GCD(las,ans)));
        }
        if(op==3){
            int k; scanf("%d",&k);
            updata(x+1,k);
            updata(y+2,-k);
            FF::updata(x,y);
        }
        if(op==2){
            if(x==y) continue;
            int Vl=getval(x-1);
            int VR=getval(y);
            int Vr=getval(y+1);
            setrev(x+1,y);
            FF::setrev(x,y);
            setval(x,VR-Vl);
            
            VR=getval(y);
            
            setval(y+1,Vr-VR);
        }
    }
}