P8375 [APIO2022] 游戏 解题报告：
题意
你要维护 \(n\) 个点的一张图，令编号在 \([1,k]\) 的点为关键点，需要支持加边，以及在线维护是否存在含有关键点的环。
\(1\leqslant n\leqslant 3\times 10^5,1\leqslant m\leqslant 5\times 10^5\)。
分析
挺好的题。
动态维护是否成环这个问题是不太可做的，于是我们需要关注题目中关键点形成的一条链。
很容易想到对于每个点维护 \(L_x,R_x\) 表示能到达它的最大关键点与它能到达的最小关键点，那么存在要求的环当且仅当存在一个点满足 \(L_x\geqslant R_x\)。
每次修改的时候暴力 check 是否能更新 \(L,R\) 即可做到 \(O((n+m)k)\)。（势能分析，一次更新 \(L,R\) 至少靠近一格）
接着观察性质，可以发现若 \(x\rightarrow y\)，那么 \(L_x\leqslant L_y,R_x\leqslant R_y\)，进一步可以发现关于 \(p\) 的修改若让其他点不合法了（即存在 \(q\) 使得 \(L_q\geqslant R_q\)），\(p\) 一定也会不合法。于是我们只需要维护每个点的 \(L,R\)，而不需要检查每个点的 \(L,R\) 是否合法。
于是有了一个简单的想法，对序列分块，当一个点的左右端点不在一个块时一个个块跳，否则一个个点跳，这样的复杂度就是 \(O((n+m)\sqrt k)\) 了。
可以发现这道题利用到的分块性质，套在线段树上都可以满足，我们将分块换成线段树，维护每个点对应区间在线段树上被包含的极小结点并暴力向下跳，即可做到 \(O((n+m)\log k)\)。
代码
出乎意料的好写。
#include<stdio.h>
#include<vector>
using namespace std;
void init(int n, int k);
int add_teleporter(int u, int v);
const int maxn=300005;
int flg;
int L[maxn],R[maxn];
vector<int>v[maxn],w[maxn];
void init(int n,int k){
flg=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i<=k)
L[i]=R[i]=i;
else L[i]=0,R[i]=k+1;
v[i].clear(),w[i].clear();
}
}
void check(int x,int y);
void inspect(int x){
for(int i=0;i<v[x].size();i++)
check(x,v[x][i]);
for(int i=0;i<w[x].size();i++)
check(w[x][i],x);
}
void check(int x,int y){
if(L[x]>=R[y]){
flg=1;
return ;
}
int Mx=(L[x]+R[x])>>1,My=(L[y]+R[y])>>1;
if(L[x]>=My+1)
L[y]=My+1,inspect(y);
if(R[y]<=Mx)
R[x]=Mx,inspect(x);
}
int add_teleporter(int x,int y){
x++,y++,v[x].push_back(y),w[y].push_back(x),check(x,y);
return flg;
}