P8332 [ZJOI2022] 面条 解题报告

P8332 [ZJOI2022] 面条 解题报告：

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题意

定义序列 \(a\) 上的一次操作为：

\[\forall_{1\leqslant i\leqslant n} b_i\leftarrow a_i+a_{n-i+1}\\\forall_{1\leqslant i\leqslant n}a_i\leftarrow \frac{b_{\lceil\frac{i}{2}\rceil}}{2} \]

给定序列 \(a\) 以及一个位置 \(x\)，\(q\) 次询问，每次求 \(a\) 应用 \(k_i\) 次操作后，\(a_x\) 的值是多少。

分析

巨大厉害题，搬运一下官方题解！

可能写的有点口胡，补完代码之后来补充一下。

将最后答案除以 \(2^k\)，那么我们第二个操作就不需要要除二了。

我们手玩一下操作过程：

\[abcdefgh\cdots z\rightarrow aabbccdd\cdots zz\rightarrow\cdots (a\times 2^w)(b\times 2^w)\cdots(z\times 2^w)\rightarrow (a\times 2^{t+1})(b\times 2^{t+1})\cdots(z\times 2^t) \]

（其中一个字母在不同阶段不代表相同数字）

也就是说，令 \(t\) 为 \(n\) 最低非零位，那么我们应用 \(t+1\) 次操作后，会变成很多个长度为 \(2^{t+1}\) 的相同段，最后接一个长度为 \(2^t\) 的相同段。

显然这个过程的操作与询问都可以在 \(O(n\log n)\) 内暴力模拟。

将长度为 \(2^t\) 的相同段缩成一个字母，令新的序列为 \(c_1,c_2\cdots,c_m\)。考察接下来的操作造成的影响：

\[c_1,c_2,\cdots,c_m\rightarrow c_1+c_m,c_1+c_{m-1},c_2+c_{m-1},c_2+c_{m-2},\cdots \]

令差分数组为 \(d\)，那么操作就为：

\[d_1,d_2,\cdots,d_{m-1}\rightarrow -d_{m-1},d_1,-d_{m-2},\cdots \]

那么，一次操作就是 \(d_1,d_2,\cdots d_{m-1},-d_1,-d_2,\cdots,-d_{m-1}\) 的一次置换，令这个置换为 \(g\)，我们询问的答案就是：

\[C+\sum_{i=1}^{m-1}[g^k(i)<x]d_i=C+\sum_{i=1}^{x-1}d_{g^{-k}(i)} \]

\(C\) 可以简单计算出，后面这个式子考虑拆出所有置换环，每个置换环（设大小为 \(c\)）通过一次卷积求出所有 \(k\in[0,c)\) 的答案。

将大小相同的置换环的答案加到一起，每次询问只需要枚举 \(O(\sqrt n)\) 个置换环将答案加起来即可，复杂度 \(O(n\log n+q\sqrt n)\)，不能通过。

继续挖掘这个置换 \(g\) 的性质（\(g^{-1}\) 与 \(g\) 性质相同），手玩可以发现所有置换环大小都是 \(2\) 在 \(2(m-1)\) 下的阶 \(r\) 的因数。

也就是答案关于 \(r\) 是循环的，那么我们将大小相同的置换环加和之后，直接维护 \(k\in[0,r)\) 的答案就好了。

复杂度 \(O(nd(n)+q)\)，可以通过。