小偷的智慧——最浅显易懂的动态规划

从小偷入室行窃谈起：

    话说一小偷深更半夜去偷东西，带了一个背包，但是这个背包只能装下10kg的物品（这个小偷也是够笨的不整个大点的包），推开了房门，看到了什么？（这不是废话嘛，当然看到的全部都是贵重物品啊）。小偷发现房间没人，小偷暗喜这就好办了，接下来就是到处搜寻贵重物品，功夫不负有心人（貌似这句话放在这里不恰当啊），一共找到了5件贵重物品（这户人间真是穷啊），暂且叫做a、b、c、d、e吧，这五件物品有重量也有价值，分别如下：

	a	b	c	d	e
重量	4kg	5kg	6kg	2kg	2kg
价值	6	4	5	3	6

          小偷看着这五件贵重物品发愣了，自己背包只能装10kg，要怎么装才能让带走东西的价值最多呢？（不要想着用口袋再装一点，就是那么多限制）

画个表格计算一下：

    话说这年头日子真难混啊，就连做个小偷也不容易啊（更何况学计算机的呢，不说了，说多了都是泪啊）。小偷拿出纸和笔开始计算了起来（可见这小偷是有备而来啊，这心机......）。这个小偷画了这样一个二维的表格：

	0kg	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg	6kg	7kg	8kg	9kg	10kg
不放物品
放第一个物品a(4kg,6)
放第二个物品b(5kg,4)
放第三个物品c(6kg,5)
放第四个物品d(2kg,3)
放第五个物品e(2kg,6)

           题外话：给大家解释一下这个表格的含义：

            行（下面用i表示坐标）：一共有6种选择（5件物品怎么多了一个选择？选择什么都不装嘛！），此件物品放不放进自己的背包取决于上个物品的选择（这个理解起来有难度，下面还会进行解读的，读完整篇文章你就会懂了。）

            列（下面用k表示坐标）：0-10表示背包的能容纳的重量，小偷可以选择什么都不装（白偷一次，空手回去），但是最多也只能装10kg。

            行和列的交叉：处就是装在背包里面物品的价值，用f[i,k]表示背包装有物品的总价值，i表示哪一行，k表示背包能容纳的重量，记住这两个的含义下文还会用到，举例f[2,8]表示第2行（放第二个物品b）背包容量只有第8列（8kg）时背包物品价值最大价值（当然坐标从0开始算起）

先初始一下数组：

          这个步骤很简单，第0行（不放物品时，不管你的背包能装多少东西价值都为0）、第0列（背包能容纳的的总量为0，什么都装不了，背包的价值还是为0）全部都是0。下面是初始化后的状态：

	0kg	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg	6kg	7kg	8kg	9kg	10kg
不放物品	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
放第一个物品a(4kg,6)	0
放第二个物品b(5kg,4)	0
放第三个物品c(6kg,5)	0
放第四个物品d(2kg,3)	0
放第五个物品e(2kg,6)	0

开始放入a物品了哟：

           旁白：表格每行的填入是从左至右（也就是随着背包容量的增大来装东西）

           忙活了半天终于可以开工了，a物品到底要不要放进去取决于两个因素，第一是a有4kg重，只有背包大于等于4kg的时候才能装进去（也就是说当i=1，k<4时f[i,k]=0）；第二是当背包的重量大于等于4kg时要不要把a放进去呢（全篇的重点就在这里）；Put or not put,that's a question。读者此时应该会有疑惑，肯定是把a放进去啊，反正在放a之前什么都没有，当然这样考虑我也同意，只是我要说的是，这是一个算法问题，必须找寻到规律所在，一环扣一环。现在我们按照刚才说的两个因数填一下第1行（时刻记得坐标是从0开始的），背包小于4kg时的值与上一行相同，f(1,1)=f(0,1)=0,f(1,2)=f(0,2)=0,f(1,3)=f(0,3)=0。随着背包能容纳的重量增大，当k=4时（背包能容纳4kg），现在到了选择的时刻了，将a放进去跟不放相比较，哪个价值要大一些，哪个价值大就选择哪个。将a放进去后背包的价值为6，a不放进去背包的价值为0，这里就要思考这个0对应的是表格里面的那个0了，不放a就回到了上一行的状态（第0行，i=0），a的重量是4kg，此时背包的的容量是4kg，不放a要用背包现在的容量4kg减去a的重量4kg，得到的值为0，即k=0，回到了f[0,0]的状态。找放入该物品之前的状态是一个非常关键的问题。那就再试着找一个状态吧，当背包为能容纳10kg时，a放进去背包总价值是6，不放进对应的状态对应f[0,6]价值为0，所以选总价值大的那个，即放进去。

	0kg	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg	6kg	7kg	8kg	9kg	10kg
不放物品	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
放第一个物品a(4kg,6)	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6
放第二个物品b(5kg,4)	0
放第三个物品c(6kg,5)	0
放第四个物品d(2kg,3)	0
放第五个物品入e(2kg,6)	0

开始放入b物品了哟：

          放b物品与放a物品一样了（可不要因为一样就随便看，这里才是重头戏），b物品放不放进背包取决于两个因素，第一b有5kg的总量，背包容量有没有达到5kg，第二背包能容纳5kg，b放不放进去。当0<k<5时，背包价值与上一行相同，k=5时，不放b背包的价值与同列的上一行相同，价值为6，如果要把b放进去，必须回到放b之前的状态，按照之前的方法找到放b之前的状态f[1,0]，f[1,0]的值（即背包的价值）是0，放入b后价值是0+4(注意0)，比不放b的价值6要小，所以选择不把b放进背包，同理，k=6,7,8时一样。当k=9的时候，这时需要注意啦：不放b的价值是6，放b进背包则首先回到放b之前的状态，即f[1,4]的价值，发f[1,4]的价值是6，将b放进去的价值是6+4=10，大于不放b的价值6，所以此时将b放进去，即f[2,9]=10

	0kg	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg	6kg	7kg	8kg	9kg	10kg
不放物品	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
放第一个物品a(4kg,6)	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6
放第二个物品b(5kg,4)	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
放第三个物品c(6kg,5)	0
放第四个物品d(2kg,3)	0
放第五个物品入e(2kg,6)	0

开始放入c物品：

          放c（6kg,5）物品，道理同放b一样，0<k<6是，与同行的上一排相同，k=6时，不放c的价值和同列上一行相同，放c时先回到放c之前的状态f[2,0]，价值是f[2,0]+5=5<6，此时选择不放c。当k=11时，不放c的价值是10，放c的价值是f[2,4]+5=11>10,所以选择把c放进去。

	0kg	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg	6kg	7kg	8kg	9kg	10kg
不放物品	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
放第一个物品a(4kg,6)	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6
放第二个物品b(5kg,4)	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
放第三个物品c(6kg,5)	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
放第四个物品d(2kg,3)	0
放第五个物品入e(2kg,6)	0

放入d、e绘出表格：

	0kg	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg	6kg	7kg	8kg	9kg	10kg
不放物品	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
放第一个物品a(4kg,6)	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6
放第二个物品b(5kg,4)	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
放第三个物品c(6kg,5)	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
放第四个物品d(2kg,3)	0	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
放第五个物品入e(2kg,6)	0	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15

 精华总结：

不难得出这样的公式（这是核心，只要理解了公式，写程序会迎刃而解，上面的废话也不用再看了）

f[i,k]=  0(i=0或k=0)    //背包不能装东西，或者没有东西可以装  

f[i,k]=  f[i-1,k] (k<W_i)  //W_i表示第i个物品的重量

f[i,k]=  max{f[i-1,k],f[i-1,k-W_i]+p_i}  (k>=W_i)  //p_i表示第i个物品的价值

这年头做个小偷真难啊，还得算那么多东西！

 下面是java代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入背包能容纳的重量：");
        int w = scanner.nextInt();
        System.out.println("请输入物品件数：");
        int n = scanner.nextInt();
        int[][] tab = new int[n + 1][w + 1];// 结果表
        int[][] a = new int[n][2];// 物品的重量价值记录笔
        System.out.println("请分别输入" + n + "件物品的重量和价值：");
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int k = 0; k < 2; k++) {
                a[i][k] = scanner.nextInt();
            }
        }
        System.out.println(n + "个物品的重量、价值分别是：");
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.print("(" + a[i][0] + "kg," + a[i][1] + ")	");
        }
        System.out.println();
        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            for (int k = 1; k < w + 1; k++) {
                if (k < a[i - 1][0]) {
                    tab[i][k] = tab[i - 1][k];
                } else {
                    tab[i][k] = max(tab[i - 1][k - a[i - 1][0]] + a[i - 1][1], tab[i - 1][k]);
                }
            }
        }
        System.out.println("绘制的二维表格：");
        for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
            for (int k = 0; k < w + 1; k++) {
                System.out.print(tab[i][k] + "	");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    private static int max(int a, int b) {
        return a > b ? a : b;
    }

}