求最大子数组

题目：整数数组中最大子数组的和

要求：

• 输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。
• 数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。
• 求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)

首先，想到的是既然要求这个整型数组的最大子数组之和，那么先求出所有子数组之和，再求最大。

假设整型数组a[n]，再设一个n*n整型数组arr[n][n]，元素arr[i][j]表示从a[i]到a[j]（包括a[j]）的元素之和，

数组有n个元素，那么一共有n(n+1)/2个子数组。即一个n*n矩阵去掉对角线的左下角。

此时，算法的时间复杂度为O(n²)。

废话不说，上码。

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define max_Num 100
int main(int argc, char *argv[])
{
    int arr[]={12,3,-885,4,423,-1122,115,-9,10};
    int max = INT_MIN;
    int flag_i,flag_j;
    int arrtemp[max_Num][max_Num]={0};
    for(int i = 0;i < (sizeof(arr)/sizeof(int)); i++)   //计算出所有子数列之和
    {
        for(int j=0;j < (sizeof(arr)/sizeof(int)); j++)
        {
            if(i <= j)    //arrtemp[i][j]指从arr[i]到arr[j]之和
            {
                for(int k = i;k <= j;k++)
                    arrtemp[i][j] += arr[k];
            }
        }
    }


    for(int i = 0;i < (sizeof(arr)/sizeof(int)); i++)
    {
        for(int j=0;j <(sizeof(arr)/sizeof(int)); j++)
        {
            if(i <= j){
                if( arrtemp[i][j] > max){
                    max = arrtemp[i][j];
                    flag_i = i;
                    flag_j = j;
                }
            }

        }
    }

    cout <<"sum:"<< max <<"start:"<< flag_i <<"end:"<<flag_j <<endl;
    return 0;
}

然后，上述方法简单易于理解，但是时间复杂度上是不满足要求的

动态规划(dynamic programming)解决

设subarr[i]表示以arr[i]结尾 的子数组的最大子段和，即：

subarr[i]=max{sum(arr[j~k])},其中0<=j<=i，j<=k<=i。

因此对于数组arr[0~n]的最大字段和为max{subarr[i]}，其中0<=i<n。

在计算subarr[i]时，可以考虑以下三种情况：

1. subarr[i] = subarr[i-1]+arr[i]，当subarr[i-1]>0时，这时候的subarr[i]中包含arr[i]。
2. subarr[i] = arr[i]，当subarr[i-1]<=0，这时候以arr[i]重新作为subarr[i]的起点。
3. subarr[i]不包含arr[i]的情况，这种情况在计算b[i]之前已经计算处结果，保存在b[0~i-1]中。最后计算max{b[i]}时会考虑到。

实现时可以用一个临时子数组和代替subarr

上码

#include <iostream>
using namespace std;
#define max_Num 100
int main(int argc, char *argv[])
{
    int arr[]={12,3,-885,4,423,-1122,115,-9,10};
    int start,end,s,e;
    int sum = arr[0];
    int subSum = arr[0];
    start = 0;
    end = 0;
    s = 0;
    e = 0;

    for(int i = 1;i < (sizeof(arr)/sizeof(int));i++)
    {
        if(subSum > 0)
        {
            subSum += arr[i];
            e = i;
        }else{
            subSum = arr[i];
            s = i;
            e = i;
        }

        if(sum < subSum)
        {
            sum = subSum;
            start = s;
            end = e;
        }
    }
    cout <<"sum:"<< sum <<"    start:"<< start <<"    end:"<<end <<endl;
    return 0;
}

附上运行截图