动态规划>0/1背包问题 小强斋

0/1背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。物品或者整件装入背包中, 或者根本不装入(即不能装入物品的一部分)，求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

最优性原理对0/1背包问题成立

算法基本思想

利用动态规划思想 ，子问题为：f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

其状态转移方程是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}   

解释一下上面的方程：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，如果只考虑第i件物品放或者不放，那么就可以转化为只涉及前i-1件物品的问题，即

1、如果不放第i件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；

2、如果放第i件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”(此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i])。

f[i][v]的值就是1、2中最大的那个值。

（注意：f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其容量总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。）

例子1：

C[v]从物品i=1开始，循环到物品3，期间，每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。

例子2：

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fori=1..N

   forv=V..0

        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

0/1背包