11: python递归

1.1 递归讲解

　　1、定义

　　　　　　1. 在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。

　　2、递归特性

　　　　　　1. 必须有一个明确的结束条件

　　　　　　2. 每次进入更深一层递归时，问题规模相比上次递归都应有所减少

　　　　　　3. 递归效率不高，递归层次过多会导致栈溢出（在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，

　　　　　　    栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出）

1.2 简单事例理解递归原理

　　  参考博客：https://www.cnblogs.com/Fantinai/p/7806356.html

　　1、递归实例

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def digui(num):
    print num
    if num > 0:
        digui(num - 1)
    else:
        print '------------'
    print num

digui(3)

''' 执行结果
3
2
1
0
------------
0
1
2
3
'''

　　　　　　1. 每一次函数调用都会有一次返回，并且是某一级递归返回到调用它的那一级，而不是直接返回到main()函数中的初始调用部分。 

　　　　　　2. 第一次递归：n = 3   3入栈【3】

　　　　　　3. 第二次递归：n = 2   2入栈【3, 2】

　　　　　　4. 第三次递归：n = 1  1 入栈【3,2,1】

　　　　　　5. 当n=0时 0>0 为 False，不再递归，print num=0 ,  函数返回到调用他的上一级，即栈顶 n = 1

　　　　　　6. 接着位置digui(num - 1)向下执行： 此时打印print num  = 1,  1出栈，栈中元素：【3,2】

　　　　　　7. 依次类推会打印 2,3   所以最终打印结果如右图

　　　　　　          

　　2、结果剖析

　　　　　　1. 为什么会得出上面的结果呢？因为都把调用函数本身之后的代码给忘记了，就是else之后的python 代码。

　　　　　　2. 在调用函数本身时，它之后的代码并没有结束，而是在等待条件为False 时，再接着执行之后的代码，同一个颜色的print()语句等待对应颜色的函数。

　　　　　　3. 下面我把此递归函数做了一个分解，详解递归函数，当调用递归函数digui(3)时，执行过程如下：

　　　　　　

 1.2 使用递归求阶乘 解析递归原理

　　1、求阶乘代码

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def test(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        res = n*test(n-1)
        print "n:%s-----ret:%s"%(n, res)
    return res

print test(4)  # 24
'''
n:2-----ret:2
n:3-----ret:6
n:4-----ret:24
24
'''

# 1、递归步骤
'''
1、第一层：test(4) = 4*test(4-1)
2、第二层：test(3) = 3*test(3-1)
3、第三层：test(2) = 2*test(2-1)
4、第四层：test(1) = 1
'''

# 2、返回步骤
'''
注：上层调用的位置都是：res = n*test(n-1)，所以返回上层后会接着这里向下执行知道return
5、n=1那么就会执行if代码块内的代码return 1此时第四层函数结束： ret = 1
6、第四层函数结束后会接着第三层调用的位置向下执行直到return：  ret = 1 * 2
7、第三层函数返回后会回到第二层调用位置return：                ret = 1 * 2 * 3
8、第二层函数返回后会回到第一层调用位置return:                 ret = 1 * 2 * 3 * 4
到达第一层调用位置后，没有上层的递归调用位置，此时函数才会正真返回。
'''

　　　　

1.3 青蛙跳台阶问题 

　  　参考博客：https://cloud.tencent.com/developer/news/44122

　　1、二级台阶问题

　　　　　　问题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法　

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
import sys
sys.setrecursionlimit(1000000000)             #设置系统最大递归深度

def fib(n):
    if n <= 2:
        return n
    else:
        return fib(n-1) + fib(n-2)
print(fib(4))         # 5

#### 1、n=1 时只有一种方法
# f(1) = 1

#### 2、n=2 时当第一次跳一个台阶时,有一种方法,当第一次跳两个台阶时有一种方法
# f(2) = 1+1 = 2

#### 3、n=3 倒推最后一跳跳一步有f(n-1)种方法 最后一跳跳两步f(n-2)
# f(3) = f(2) + f(1) = 3

#### 4、n>2 以此类推
# f(n) = f(n-1)+f(n-2) 

　　2、n级台阶问题

　　　　　　问题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
import sys
sys.setrecursionlimit(1000000000)             #设置系统最大递归深度

def fib(n):
    if n <= 2:
        return n
    else:
        return 2 * fib(n - 1)
print(fib(4))         # 8

#### 1、n=1 时只有一种方法
# f(1) = 1

#### 2、n=2 时当第一次跳一个台阶时,有一种方法,当第一次跳两个台阶时有一种方法
# f(n) = 1+1 = 2

#### 3、n=3 时当第一次跳一个台阶时有f(3-1)中方法，当第一次跳两个台阶时有f(3-2)中方法，当第一次跳3个台阶时有f(3-3)种跳法
# f(n) = 2+1 = 3 

#### 4、n>2 以此类推
# f(n) = f(n-1)+f(n-2)+......f(0)

'''
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+......f(0)种跳法

f(n-1) = f(n-2)+f(n-3)+.....f(0)

f(n)-f(n-1)=f(n-1)

所以f(n) = 2*f(n-1)
'''

　　3、三级台阶问题

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
import sys
sys.setrecursionlimit(1000000000)             #设置系统最大递归深度

def fib(n):
    if n <= 2:
        return n
    elif n == 3:
        return 4
    else:
        return fib(n-1) + fib(n-2) + fib(n-3)
print(fib(4))         # 7