数据库系统概述----求属性集X关于F的闭包XF+

属性集X关于函数依赖集F的闭包X_F⁺ 的求解过程

一、定义：

　　设F为属性集U上的一组函数依赖，X⊆U，X_F⁺ ={A | X→ A能y由F根据Armstrong公理推导出 }，X_F⁺ 称为属性集X关于函数依赖集F的闭包。

二、用途

　　1.若判断X→Y是否能由F根据Armstrong公理推导出，则求出X_F⁺ ，判断Y是否为X_F⁺ 的子集；若Y为X_F⁺ 的子集，则X→Y能由F根据Armstrong公理推导出，否则不能。

　　2.如果X_F⁺ = U，X是R<U , F>的候选码。

三、求解算法

对R<U , F>，求属性X（X ⊆ U）关于U上的函数依赖集F的闭包X_F⁺  

1. 输入：X，F
2. 输出：X_F⁺  
3. 步骤：

　　　　　　（1）令X⁰ =X，i =0；

　　　　　　（2）求MID，这里的 MID ={A| (∃V) (∃W) (V→W ∈ F ⋀ V ⊆Xⁱ  ⋀ A∈W ) }; 也就是说先令MID^' 为空集，对于F中的每一个函数依赖Y→Z，满足属性集Y⊆Xⁱ ，那么MID^' =MID^' ∩ Z；最终的MID^' 即为所求的MID

　　　　　　（3）Xⁱ⁺¹ =MID∪Xⁱ 

　　　　　　（4）判断Xⁱ⁺¹ =Xⁱ 是否相等

　　　　　　（5）若相等或Xⁱ⁺¹ = U，则Xⁱ⁺¹ 就是X_F⁺ ，算法终止。

　　　　　　（6）若不相等，则令i = i +1，返回第（2）步。

四、例子说明：

　　已知关系模式R<U,F>，其中U={A,B,C,D,E}；F={AB→C,B→D,C→E,EC→B,AC→B}，求X_F⁺ 。

（1）令X⁰ =AB，求X¹：

　　　　先求此时的MID：

　　　　　　因为F中有AB→C，B→D，所以MID=CD

　　　　所以得X¹=X⁰∪MID=AB∪CD=ABCD；

　　　　又因为X⁰≠X¹且X¹≠ U，所以要继续求X²；　　//   如果这时X⁰=X¹了，那么根据求解算法第（5）步，X¹即为所要求得的X_F⁺ 

（2）有X¹=ABCD，求X²：

　　　　先求此时的MID：

　　　　　　因为F中有C→E,AC→B，所以MID=BE；　　//  AB→C，B→D在第（1）步中已经出现了所以这里忽略

　　　　　　所以得X²=X¹∪MID =ABCD∪BE=ABCDE;

　　　　　　因为此时X²= U 了，所以根据求解算法第（5）步，X²即为所要求得的X_F⁺ ，算法结束。