位运算的一些有用的操作

位运算的骚操作（一）之四则运算

​ 可以这样说，位运算是我们刚开始学计算机就会接触到的一种东西。那么位运算这么常见，我们是否可以使用它来做一些骚操作呢？

使用的运算符包括下面（java还有一个>>>无符号右移）：

含义	运算符	例子
左移（后面补0）	<<	0011 => 0110
右移（正数前面补0，负数补1）	>>	0110 => 0011
按位或	︳	0011 ------- => 1011 1011
按位与	&	0011 ------- => 1011 1011
按位取反	~	0011 => 1100
按位异或 (相同为0不同为1)	^	0011 ------- => 1000 1011

左移右移运算
右移相当于是除,左移相当于就是乘,左移一位乘以2,左移二位乘以4,依此类推.无论正数、负数,它们的右移、左移、无符号右移32位都是其本身,

位运算与四则运算（这里都是考虑整数【Java版本】）

加法

加法有两个操作：求和与进位

求和：1+1=0 1+0=1 0+0=0

异或：1^1=0 1^0=1 0^0=0

进位：1+1=1 1+0=0 0+0=0

位与：1&1=1 1&0=0 0&0=0

那么这时候，我们使用位运算实现加法肯定是使用异或和位与

• 递归版本

  // 使用递归实现
  int add(int a,int b){
      // 假如进位为0
      if(b ==0){
          return a;
      }
      // 获得求和位
      int s = a^b;
      // 获得进位,然后需要向做移动一位表示进位
      int c = ((a&b)<<1);
      return add(s,c);
  }

• 非递归版本

  非递归版本和递归版本没什么不一样的

   int add2(int a,int b){
  
      int s;
      int c;
      while(b != 0){
          // 获得求和位
          s = (a^b);
          // 获得进位,然后需要向做移动一位表示进位
          c = ((a&b)<<1);
          a = s;
          b = c;
      }
      return a;
  }

减法

减法，emm,简单点来说，就是使用加法来做的，只是说加了一个负数而已

首先我们得先将被减数取反（a取反就是～a+1）

int adverse(int a){
    return add(~a,1);
}

减法的完全代码

// 取得相反数
int adverse(int a){
    return add(~a,1);
}
// 减法函数 其中add就是前面的加法函数
int subtract(int a,int b){
    return add(a,adverse(b));
}

乘法

说乘法的前面我们先考虑下符号问题。

首先呢，我们得知道一个数是正数还是负数

// 负数返回-1，正数返回0
int getsign(int i){
    return (i >> 31);
}

如果为负数，则进行取反

// 如果为负数，则进行取反
int toPositive(int a) {
    if (a >> 31 == -1)
        // 进行取反
        return add(~a, 1);
    else
        return a;
}

• 解决方法一：

  乘法，我们小时候学习乘法，老师告诉我们，乘法就是累加，例如6*7就是7个6相加而已，so,我们肯定可以使用加法来实现乘法。时间复杂度O(n)。

int multiply(int a, int b){
    Boolean flag = true;
    // 如果相乘为正数，flag为false
    if (getsign(a) == getsign(b))
        flag = false;
    // 将a取正数
    a = toPositive(a);
    b = toPositive(b);
    int re = 0;

    while (b!=0) {
        // 相加
        re = add(re, a);
        // b进行次数减一
        b = subtract(b, 1);
    }
    // 假如结果是负数，则进行取反
    if (flag)
        re = adverse(re);
    return re;
}

• 解决方法二

  首先先看一张图吧，这张图是我用笔记本的触摸板画的，难看了一点（en,我自己都受不了的难看），上面画的是6*2的二进制相乘。

   

  
  

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  上面我们可以发现，相乘有点类似与&，只不过它会进位而已。那么我们的问题就可以简单化了。相与，然后进位即可，然后再相加。换个方向想：a向左移动，b向右移动，如果b的最后一位为1，则可以将a加上。（时间复杂度O(logn)）

  int multiply2(int a, int b) {
      Boolean flag = true;
      // 如果相乘为正数，flag为false
      if (getsign(a) == getsign(b))
          flag = false;
      // 将a取正数
      a = toPositive(a);
      b = toPositive(b);
      int re = 0;
      while (b!=0) {
          // 假如b的最后一位为1
          if((b&1) == 1){
              // 相加
              re = add(re, a);
          }  
          b = (b>>1);
          a = (a<<1);
      }
      // 假如结果是负数
      if (flag)
          re = adverse(re);
      return re;
  }

除法

除法和乘法类似。

• 解决方法一

  除法解决方法一和乘法的解决方法一类似，从被除数上面减去除数，直到不够减了，才罢休。时间复杂度O(n)。

• 解决方法二
  解决方法二的思路是这样的：从b*(2**i)开始减（2**i代表2的i次方），然后一直减到b*(2**0)。这样的解决方法的时间复杂度是O(logn)。

  // a/b
  int divide(int a,int b){
     Boolean flag = true;
     // 如果相除为正数，flag为false
     if (getsign(a) == getsign(b))
         flag = false;
     // 将a取正数
     a = toPositive(a);
     b = toPositive(b);
     int re = 0;
     int i = 31;
     while(i>=0){
         // 如果够减
         // 不用(b<<i)<a是为了防止溢出
         if((a>>i)>=b){
             // re代表结果
             re = add(re, 1<<i);
             a = subtract(a, (b<<i));
         }
         // i减一
         i = subtract(i, 1);
     }
     // 假如结果是负数
     if (flag)
         re = adverse(re);
     return re;
  }

ok，今天的位运算四则运算就到这里了，在这里我都没有考虑到数据溢出的情况，因为重点不在这里，下次的博客我将会说一下位运算在算法中的一些骚操作。