[BZOJ3238][Ahoi2013]差异

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试题描述

输入

一行，一个字符串S

输出

一行，一个整数，表示所求值

输入示例

cacao

输出示例

54

数据规模及约定

2<=N<=500000,S由小写英文字母组成

题解

我们考虑把两部分分开计算，“∑ len(T_i) + len(T_j)” 显然可以推出公式，现在就是算“∑ lcp(T_i, T_j)”的问题了。

我们可以先把 height 数组求出来，那么 ∑ lcp(T_i, T_j) = ∑_l ∑_r min{ height_l, height_l+1, ... , height_r }；

接下来我们可以令 suf_l = ∑_r min{ height_l, height_l+1, ... , height_r }，于是这个 suf_l 就可以递推转移得到了，我们只需要处理出每个位置 i 后边最靠前的位置 p 满足 height[p] < height[i]，那么 suf_i = suf_p + height[i] * (p - i)（想一想，为什么）。

那么最终 ∑ lcp(T_i, T_j) = ∑ suf_i，问题解决。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>

#define maxn 500010
#define maxlog 19
#define LL long long

char S[maxn];
int n, rank[maxn], height[maxn], sa[maxn], Ws[maxn];

bool cmp(int* a, int p1, int p2, int l) {
	if(p1 + l > n && p2 + l > n) return a[p1] == a[p2];
	if(p1 + l > n || p2 + l > n) return 0;
	return a[p1] == a[p2] && a[p1+l] == a[p2+l];
}
void ssort() {
	int *x = rank, *y = height;
	int m = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) Ws[x[i] = S[i]]++, m = std::max(m, x[i]);
	for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] += Ws[i-1];
	for(int i = n; i; i--) sa[Ws[x[i]]--] = i;
	for(int j = 1, pos = 0; pos < n; j <<= 1, m = pos) {
		pos = 0;
		for(int i = n - j + 1; i <= n; i++) y[++pos] = i;
		for(int i = 1; i <= n; i++) if(sa[i] > j) y[++pos] = sa[i] - j;
		for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) Ws[x[i]]++;
		for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] += Ws[i-1];
		for(int i = n; i; i--) sa[Ws[x[y[i]]]--] = y[i];
		std::swap(x, y); pos = 1; x[sa[1]] = 1;
		for(int i = 2; i <= n; i++) x[sa[i]] = cmp(y, sa[i], sa[i-1], j) ? pos : ++pos;
	}
	return ;
}
void calch() {
	for(int i = 1; i <= n; i++) rank[sa[i]] = i;
	for(int i = 1, j, k = 0; i <= n; height[rank[i++]] = k)
		for(k ? k-- : 0, j = sa[rank[i]-1]; S[j+k] == S[i+k]; k++);
	return ;
}

int mnh[maxlog][maxn], Log[maxn];
void rmq_init() {
	Log[1] = 0;
	for(int i = 2; i <= n; i++) Log[i] = Log[i>>1] + 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) mnh[0][i] = height[i];
	for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
		for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
			mnh[j][i] = std::min(mnh[j-1][i], mnh[j-1][i+(1<<j-1)]);
	return ;
}
int qhei(int l, int r) {
	if(r > n) return -1;
	int t = Log[r-l+1];
	return std::min(mnh[t][l], mnh[t][r-(1<<t)+1]);
}

LL f[maxn], ans;

int main() {
	scanf("%s", S + 1);
	
	n = strlen(S + 1);
	ssort();
	calch();
//	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d%c", height[i], i < n ? ' ' : '
');
	rmq_init();
	for(int i = n; i; i--) {
		int l = i, r = n + 2;
		while(r - l > 1) {
			int mid = l + r >> 1;
//			printf("[%d, %d]: %d
", i, mid, qhei(i, mid));
			if(qhei(i, mid) >= height[i]) l = mid;
			else r = mid;
		}
		if(l <= n) l++;
//		printf("%d
", l);
		f[i] = f[l] + (LL)(l - i) * height[i];
		ans += f[i];
	}
	ans <<= 1;
	
//	LL all = ((LL)n * (n + 1) >> 1) * (n - 1);
	printf("%lld
", ((LL)n * (n + 1) >> 1) * (n - 1) - ans);
	
	return 0;
}

上面代码中我求每个位置的后继时用的二分，下面有一个（看上去？）暴力的求法，交到大视野上发现更快了，不知道这个暴力做法靠不靠谱。。。

我们令位置 i 的后继为 nxt[i]，那么暴力的做法就是检查位置 height[i+1] < height[i] 是否成立，如果成立那么显然 nxt[i] = i + 1，否则沿着 nxt 数组往下走一直碰到 height 值更小的位置。

填坑：这个做法其实就是单调栈。。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>

#define maxn 500010
#define maxlog 19
#define LL long long

char S[maxn];
int n, rank[maxn], height[maxn], sa[maxn], Ws[maxn];

bool cmp(int* a, int p1, int p2, int l) {
	if(p1 + l > n && p2 + l > n) return a[p1] == a[p2];
	if(p1 + l > n || p2 + l > n) return 0;
	return a[p1] == a[p2] && a[p1+l] == a[p2+l];
}
void ssort() {
	int *x = rank, *y = height;
	int m = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) Ws[x[i] = S[i]]++, m = std::max(m, x[i]);
	for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] += Ws[i-1];
	for(int i = n; i; i--) sa[Ws[x[i]]--] = i;
	for(int j = 1, pos = 0; pos < n; j <<= 1, m = pos) {
		pos = 0;
		for(int i = n - j + 1; i <= n; i++) y[++pos] = i;
		for(int i = 1; i <= n; i++) if(sa[i] > j) y[++pos] = sa[i] - j;
		for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) Ws[x[i]]++;
		for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] += Ws[i-1];
		for(int i = n; i; i--) sa[Ws[x[y[i]]]--] = y[i];
		std::swap(x, y); pos = 1; x[sa[1]] = 1;
		for(int i = 2; i <= n; i++) x[sa[i]] = cmp(y, sa[i], sa[i-1], j) ? pos : ++pos;
	}
	return ;
}
void calch() {
	for(int i = 1; i <= n; i++) rank[sa[i]] = i;
	for(int i = 1, j, k = 0; i <= n; height[rank[i++]] = k)
		for(k ? k-- : 0, j = sa[rank[i]-1]; S[j+k] == S[i+k]; k++);
	return ;
}

int nxt[maxn];
LL f[maxn], ans;

int main() {
	scanf("%s", S + 1);
	
	n = strlen(S + 1);
	ssort();
	calch();
//	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d%c", height[i], i < n ? ' ' : '
');
	nxt[n+1] = n + 1; height[n+1] = -1;
	for(int i = n; i; i--) {
		if(height[i+1] < height[i]) nxt[i] = i + 1;
		else {
			nxt[i] = nxt[i+1];
			while(height[nxt[i]] >= height[i]) nxt[i] = nxt[nxt[i]];
		}
		f[i] = f[nxt[i]] + (LL)(nxt[i] - i) * height[i];
		ans += f[i];
	}
	ans <<= 1;
	
//	LL all = ((LL)n * (n + 1) >> 1) * (n - 1);
	printf("%lld
", ((LL)n * (n + 1) >> 1) * (n - 1) - ans);
	
	return 0;
}

求 hack 啊。。。。。