第1章 游戏之乐----游戏中碰到的题目
第2章 数学之魅----数字中的技巧
2.2 不要被阶乘吓倒
问题2：求N!的二进制表示中最低位1的位置。
方法一：一个数字k如果乘以2，则其二进制就会左移一位。那么N!的质因子分解中的2的个数就是N!的二进制中有多少个后缀零。具体实现与N!后缀零一样。
1 int lowestOne(int N) 2 { 3 int ans=0; 4 while(N) 5 { 6 N>>=1; 7 ans+=N; 8 } 9 return ans+1;//由于求的是后缀0的个数，所以最后一个1应该是ans+1 10 }
方法二：答案为N!减去其二进制表示中含1的个数。比如 11011-1-1-1-1=(10000-1)+(1000-1)+(10-1)+(1-1)=1111+111+1=1101+110+11+1。需观察规律。
2.3 寻找发帖水王
扩展问题：一个大小为N的数组中有3个特殊的数，这3个数都出现了超过N的1/4次， 求这3个数。
方法：同“寻找出现次数超过一半的数”一样，只不过现在的问题是3个。由于这3个数的出现次数之和超过了N的1/4，那么同样可以用3个桶来做抵消法。具体逻辑为，对于新考虑的数t，若t已经在桶中，则将t继续丢往该桶；若t不在桶中，且有空桶，则将t丢往任一空桶了；若t不在桶中，且无空桶，则随便将任一个数从任一桶中删除。最后留在3桶中的数字就是答案。
2.4 1的数目
问题1：写一个函数f(N)，返回1到N之间出现的“1”的个数，比如f(12)=5。
方法一：暴力统计，复杂度太高。
方法二： 类似于数位DP，考虑十进制的第i位分别为0，1和其他的情况就可以解决。当然，数位DP也是可以做。
2.5 寻找最大的K个数
问题：寻找第K大的数（相当于寻找最大的K个数）。
方法一：排序一遍即可解决。
方法二：类似快排，递归不断地进行二分当前的数组。
方法三：找到数组中的最大数big及最小的数small，对答案ans在[big,small]进行二分枚举，每次枚举需要扫一遍整个数组。
方法四：当数组很大时，必须减少遍历数组的次数。若K比较小，可用堆维护当前最大的K个数，pop出一个最小的，加入一个更大的。仅需扫描一遍数组。
方法五：若big-small比较大，可以对其进行分块，判断第K个数具体在哪个块，若还是很大，可以递归继续分快处理。
2.9 斐波那契(Fibonacci)数列
问题：有递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，且F(0)=0，F(1)=1。给定一个自然数N，求F(N)。
方法一：递归求解。缺点是有重复计算，复杂度高。
方法二：递推求解，时间复杂度O(n)，空间O(1)。
方法三：求通项公式，用特征根方程求解。缺点是结果为实数，当N较大时有精度问题。
方法四：构造矩阵，用矩阵快速米求解。复杂度O(logn)。
扩展问题：假设A[0]=1，A[1]=2，A[2]=2，对于任意n>=3有A[n]=A[n-1]+A[n-2]+A[n-3]。求A[n]？
方法：构造矩阵法是一般的比较快的解法（当然也可以研究递推式找规律），对于这种递推，右式仅有3项已计算过，仅需要构造一个3*3的矩阵就可以解决。
矩阵应该为：[0, 0 ,1]
[1, 0, 1]
[0, 1, 1]
构造要点：矩阵中的某个格子代表右式中对应项的系数，设A[n]=a*A[n-1]+b*A[n-2]+c*A[n-3]，则矩阵为：
[0, 0 ,a]
[b, 0, b]
[0, c, c]
2.15 子数组之和的最大值（二维的最大子段和）
问题：在一个n*m的矩阵中求最大的子矩阵和？
方法一：枚举子矩阵的两个角，再求和。复杂度O(n2*m2*sum的时间复杂度)。为降低求sum的时间复杂度为O(1)，预处理部分和。复杂度O(n2*m2)。
方法二：降维思想，假设子矩阵在i～j行之间，则可以按一维的思想求这几列的最大子段和（需要预处理求和）。当然也可以枚举i~j列，复杂度O(n*m*min(n,m))。
扩展问题1：如果矩阵也是首尾相接（行相接），怎么处理？
方法一：假设不经过缺口，枚举i~j行，求列的最大子段和。假设经过缺口，矩阵取反再求一次。
2.21 只考加法的面试题
问题一：判断一个64bit的自然数n是否可能为一组连续的自然数之和（不少于2个），若是，输出所有的可能。
方法：假设有解，设该解中有k个自然数，且最大的自然数为i，则有k*(i+i-k+1)/2=n，即k*(i+i-k+1)=2*n。那么k就是2*n的一个因子，则只需要测试sqrt(2*n)次就可以知道解了。
问题二：在问题一中，哪些自然数是没有解的？
方法：打表知1，2，4，8，16...2j都没有。证明一下，这些数都是2t，它们的因子也只有2j的因子，即除了1之外都是偶数。由k*(2*i-k+1)=2*n得知k和(2*i-k+1) 不能同时为偶数，所以这些数无解。
问题三：在问题一中，某一解中的自然数最多的n是多少？
方法：将16bit内的n都打个表，观察到只有从1+2+...+m=n时才是最多的，即m最大。那么就一直统计前缀和，只要pre_sum最大且小于64bit就是答案了。
第3章 结构之法----字符串及链表的探索
第4章 数学之趣----数学游戏的乐趣
4.7 蚂蚁爬杆
扩展问题４：两人Ａ（速度ａ），Ｂ（速度ｂ）一直在路上相向而行，在Ａ和Ｂ之间的距离为ｓ的时候，Ａ放出了一只鸽子Ｃ（速度为ｃ），Ｃ飞到Ｂ后，立即掉头，遇到Ａ后又飞向Ｂ，一直往返地飞行，直到ＡＢ相遇，问这期间鸽子共飞了多少路程？
方法：Ａ和Ｂ会在ｔ＝ｓ/(a+b) 单位时间后相遇，而鸽子一直没有停下来，那么鸽子飞了len＝t * c的路程（这和鸽子的方向无关）。
扩展问题5：轮船（速度为a）在长江（速度为b）里逆流而上行驶。某个时刻，从穿上落下一个救生圈到水中。一个小时候，船员才发现这一情况，于是掉头去找。问什么时候轮船可找到这个救生圈？
方法：假设船为A，救生圈为B。一个小时后A和B的距离为len=60*b+60*(a-b)=60*a，设经过t分钟A追上B，且走了s路程，那么列出两条式子：(a+b)*t=s，b*t=s-len，其中只有2个变量，联合求解即可得到 t=60。