P2613 有理数取余

原题链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2613

在这里虽然是讲洛谷的题解，但用到的数论知识，归并到数论里也不为过！

进入正题：

首先看到题面：给出一个有理数c=a/b，求c mod 19260817的值。

看一下数据范围

我滴天！！！又要写高精？？？GG无疑！！！

 咦，既然要取余，还做乘法运算，那只要写个快读在读入时取膜不就好啦，这样就爆不了long long 了。

有理数求余？？？搞笑呢，不是只有整数求余嘛？

我们知道有理数包含整数和分数，那么分数求余我们都知道是没有什么意义的。

那肿么办呢？——转化！！！

前面说过这是一道数论题，那么解此题一定要用到数论知识！！！

在我发现的数论知识里，可以用以下两个知识来解此题：

1.费马小定理

如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。

此题已经明确给出mod数19260817，显然它是一个质数，那么我们就可以用费马小定理转化一下，如下：

因为a^（p-1）≡1（mod p）

所以a^（p-2）≡a^（-1） （mod p）    (A)

所以c=a/b=a*b^（-1）≡a*b^（p-2） （mod p）

证毕！

所以我们就可以将在膜p意义下的a/b转化成a*b^（p-2）的形式，所以我们只要求出b^（p-2）就大功告成啦，具体做法用快速幂。

2.扩展欧几里德

上面已经证过求在膜p意义下的a/b就是求a*b^（-1），b^（-1）就是b的逆元

下面给出求b的逆元的一种方法：

若存在一个数x，满足bx≡1 （mod p），那么x就是b的逆元

可将bx≡1 （mod p）进一步转化：

bx-1≡0 （mod p）

bx-1=-yp    （注：这里说一下为什么是-y，其实这里是不是正负无所谓，写成负的更便于理解）

bx+py=1

化简到这里我们就知道要用扩展欧几里德做了，求出了b的逆元x后再乘a取膜就是最后答案啦，下面看代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const long long mod=19260817;
inline long long read()       //快读，边读边取余 
{
    long long t=0;
    char ch=getchar(); 
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        t=(t*10+(ch-'0'))%mod;
        ch=getchar();
    }
    return t;
}
int exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)    //扩展欧几里德算法，求b的逆元 
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    long long r=exgcd(b,a%b,x,y);
    long long q=x;
    x=y;
    y=q-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    long long a,b,x,y;
    a=read();
    b=read();
    if(b==0)                 //一步特判，因为b是分母不能是0，如果b==0则无解 
    {
        cout<<"Angry!";
        return 0;
    }
    exgcd(b,mod,x,y);
    x=(x%mod+mod)%mod;      //这步操作是确保x是b的逆元中最小的正整数 
    printf("%lld",(a%mod*x%mod)%mod);     //记得多膜几次哦 
    return 0;
}

其实作为一个提高+/省选-是不是有点夸大了?