[CSP-S模拟测试]:求和（数学）

题目传送门（内部题107）

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输入格式

　　一行五个正整数$x_1,y_1,x_2,y_2,m$

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输出格式

　　输出一个整数，为所求的答案对$m$取模后的结果。

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样例

样例输入：

2 1 5 3 10007

样例输出：

54

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数据范围与提示

　　对于$20\%$的数据，满足$x_2,y_2,mleqslant 1,000$。
　　对于$40\%$的数据，满足$x_2,y_2,mleqslant 100,000$。
　　对于$70\%$的数据，满足$x_2,y_2,mleqslant 10^9$。
　　对于$100\%$的数据，满足$1leqslant x_2,y_2,mleqslant 10^{18},1leqslant x_1leqslant x_2,1leqslant y_1leqslant y_2$。

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题解

先来化式子，对于$sum limits_{i=x_1}^{x_2}sum limits_{i=y_1}^{y_2}d_{i,j}$，其左上角为$x_1+y_1-1$，那么其右上角为$x_1+y_1+(y_2-y_1)-1$。

不妨设$y_2-y_1+1=len$。

那么根据等差数列求和公式，第一行的和就是$frac{[2 imes (x_1+y_1-1)+len-1] imes len}{2}$，因为需要取模，而模数不是质数，我们又不想打$CRT$；但是我们发现如果$len$是一个奇数，那么$[2 imes (x_1+y_1-1)+len-1]$就可以除$2$，否则$len$就可以除$2$。

现在我们求出了$sum limits_{i=y_1}^{y_2}d_{x_1,i}$，不妨设其为$sum$，现在接着来考虑$sum limits_{i=x_1}^{x_2}sum limits_{i=y_1}^{y_2}d_{i,j}$该如何求。

发现每行之间的差也呈等差数列，且公差为$len$（因为每一个数都比上一行大$1$），那么最后一行的和就是$sum+(x_2-x_1) imes len$，再根据等差数列求和公式得到答案为$frac{[2 imes sum+(x_2-x_1) imes len] imes (x_2-x_1+1)}{2}$，同样可以根据上面的方法避免逆元。

但是发现可能会乘爆$long long$，一种避免高精的方法就是使用慢速乘，附一份代码：

long long qmul(long long x,long long y)
{
	long long res=0;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=(res+x)%mod;
		x=(x+x)%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}

时间复杂度：$Theta(log m)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x,y,x2,y2,m;
long long qmul(long long x,long long y)
{
	long long res=0;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=(res+x)%m;
		x=(x+x)%m;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&x2,&y2,&m);
	long long len=y2-y+1,sum,ans;
	if(len&1)sum=qmul(((x+y-1)+((len-1)>>1))%m,len);
	else sum=qmul((qmul(x+y-1,2)+len-1)%m,len>>1);
	if((x2-x)&1)ans=qmul((qmul(sum,2)+qmul(x2-x,len))%m,(x2-x+1)>>1);
	else ans=qmul(sum+qmul((x2-x)>>1,len),x2-x+1);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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