冒泡排序

(冒泡排序的正确性)冒泡排序是一种流行但低效的排序算法，它的作用是反复交换相邻的为按次序排列的元素。

  BubbleSort(A)
1 for (int i = 1; i < A.Length; i++)
2     for (int j = A.Length; j > i; j--)
3        if (A[j] < A[j - 1])
4            exchange(A[j-1],A[j]);        

a.假设A'表示BubbleSort(A)的输出。为了证明BubbleSort正确，我们必须证明它将终止并且有：

A'[1]<=A'[2]<=......<=A'[n]　　//不等式(2.3)

为了证明BubbleSort确实完成了排序，我们还需要证明什么？下面两部分将证明不等式(2.3)。

b.为内循环精确的说明一个循环不变式，并证明该循环不变式成立。

c.使用(b)部分证明的循环不变式的终止条件，为外循环说明一个循环不变式，该不变式将使你能证明不等式(2.3)。

d.冒泡排序的最坏情况运行时间是多少？与插入排序的运行时间相比，其性能如何？

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答：

b.内循环将找出A[i...n]中最小元素，并赋值给A[i]。

循环不变式证明如下：

初始化：当j=n时，if(A[n]<A[n-1]) exchange(A[n],A[n-1]);推出A[n-1]为A[n-1...n]中最小的元素。

保持：非形式化地，第2-4行将A[j-1]和A[j]比较，将较小值的元素赋给A[j-1]，当执行j--后，上次一次A[j-1]为该次的A[j]，再次与前一个元素比较，

并将较小值的元素赋值给A[j-2]。当j=k时，有A[k-1]为A[k-1...n]中的最小的元素。则当j=k+1时，有A[k]为A[k...n]中的最小元素。

终止：当j=i+1时循环终止，此时有A[i]为A[i...n]中的最小的元素。

c.外循环将A[1...i]排列有序。

初始化：i=1时，内循环将找出A[1...n]中的最小值，并赋值给A[1]。A[1]仅有一个元素，故A[1]已有序。

保持：如果i=k时，A[1...k]已有序（即：A'[1]<=A'[2]<=...A'<=[k]）。

则当i=k+1时，内循环将找出A[k+1...n]中最小的元素，并赋值给A[k+1]。故此时有A'[1]<=A'[2]<=...A'<=[k]<=A'[k+1]，即A[1...k+1]已有序。

终止：当i=n-1时，有A'[1]<=A'[2]<=...<=A'[n-1]，而A'[n-1]是A[n-1]与A[n]中较小者，故定有A'[n-1]<=A'[n]。

d.T(n)=(n-1)c₁+∑_i(n+1-i)c₂+∑_i(n-i)(c₃+c₄)  （其中i为1到n-1）

　　　=an²+bn+c

与插入排序Θ(n²)运行时间一样。