CH5301 石子合并【区间dp】

5301 石子合并 0x50「动态规划」例题

描述

设有N堆沙子排成一排，其编号为1，2，3，…，N（N<=300）。每堆沙子有一定的数量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆沙子合并成为一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆沙子的数量之和，合并后与这两堆沙子相邻的沙子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同，如有4堆沙子分别为 1  3  5  2 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24，如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22；问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小。输出最小代价。

输入格式

第一行一个数N表示沙子的堆数N。
第二行N个数，表示每堆沙子的质量(<=1000)。

输出格式

合并的最小代价

样例输入

4
1 3 5 2

样例输出

22

来源

CCF NOI1995

题意：

n堆石子，每堆有一个重量ai。现在想把他们合并成一堆，每次只能合并相邻的。花费的体力是合并的两堆石子重量和。要求花费体力最小。

思路：

任意时刻，任意一堆石子可以用一个闭区间[l,r]来描述，表示这堆石子是有最初的第l~r堆石子合并成的。一定存在一个整数k，在这堆石子形成前，先有l~k堆石子被合并，k+1~r堆石子被合并，然后这两堆才合并为l~r

两个长度较小的区间上的信息向一个更长的区间发生了转移，划分点k就是转移的决策。把区间长度len作为DP的阶段。

虐狗宝典笔记：

区间DP以“区间长度”作为DP的阶段，使用两个坐标（区间的左右端点）描述每个维度。区间DP中，一个状态由若干个比它更小且包含于它的区间所带代表的状态转移而来，因此区间DP的决策往往就是划分区间的方法。

实现动态规划的状态转移方程时，务必分清阶段、状态与决策，三者应该按照从外到内的顺序依次循环。

//#include <bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<map>

#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;

int n;
const int maxn = 305;
int a[maxn];
int dp[maxn][maxn], sum[maxn];

int main()
{
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        memset(sum, 0, sizeof(sum));
        memset(dp, inf, sizeof(dp));
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d", &a[i]);
            sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
            dp[i][i] = 0;
        }

        for(int len = 2; len <= n; len++){
            for(int l = 1; l <= n - len + 1; l++){
                int r = l + len - 1;
                for(int k = l; k < r; k++){
                    dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r]);
                }
                dp[l][r] += sum[r] - sum[l - 1];
            }
        }

        printf("%d
", dp[1][n]);
    }
    return 0;
}