CCPC-Wannafly Winter Camp Day7 D---二次函数【数论】【构造】

题意：

有三个二次函数，分别是$x^2 + a_1x + b_1$, $x^2 + a_2x + b_2$, $x^2 + a_3x + b_3$

现在要找三个整数$x_1, x_2, x_3$， 使得三个函数值中至少有两个相等。

思路：

主要的难点是要找三个整数。

Camp时候洪老师说的平移啥啥的，理解不了......

看了网上另一个题解的思路。

假设两个二次函数相等的函数值是$y$， 并假设是第一个和第二个相等

那么我们可以知道$x_1 =- frac{a_1 + sqrt{a_1^2 - 4(b_1 - y)}}{2}, x_2 =- frac{a_2 + sqrt{a_2^2 - 4(b_2 - y)}}{2}$

令$T^2 = a_1^2 - 4(b_1 - y), t^2 = a_2^2 - 4(b_2 - y)$

可以得到$T^2 - t^2 = a_1^2 - 4b_1 - a_2^2 + 4b_2 = (T+t)(T-t)$

于是我们进行因式分解，枚举$T^2-t^2$的因子，判断得到的$x_1, x_2$是否为整数。

对于$T^2-t^2$为0和1时进行特判就行了。

对于每一对$a$和$b$，判断是否有这样两个整数解。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<vector>
#include<cmath>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL a[3], b[3]; 
int t;
LL ans1, ans2;

bool solve(LL a1, LL b1, LL a2, LL b2)
{
    int sub = abs(a1 * a1 - 4 * b1 - a2 * a2 + 4 * b2);
    if(sub == 0){
        if((a1 - a2) % 2 == 0){
            ans1 = 0;
            ans2 = (a1 - a2) / 2;
            return true;
        }
        else return false;
    }
    else if(sub == 1){
        if(a1 % 2 != a2 % 2){
            if(a1 * a1 - 4 * b1 > a2 * a2 - 4 * b2 && a1 % 2){
                ans1 = (1 - a1) / 2;
                ans2 = -a2 / 2;
                return true;
            } 
            else if(a1 * a1 - 4 * b1 < a2 * a2 - 4 * b2 && a2 % 2){
                ans2 = (1 - a2) / 2;
                ans1 = -a1 / 2;
                return true;
            }
            else return false;
        } 
        return false;
    }
    else{
        for(int i = 1; i * i < sub; i++){
            if(!(sub % i) && !((sub / i + i) % 2) && !((i - sub / i) % 2)){
                LL T = (sub / i + i) / 2;
                LL t = (i - sub / i) / 2;
                if(a1 * a1 - 4 * b1 < a2 * a2 - 4 * b2)swap(T, t);
                if(!((T + a1) % 2) && !((t + a2) % 2)){
                    ans1 = -(a1 + T) / 2;
                    ans2 = -(a2 + t) / 2;
                    return true;
                } 
            }
        }
        return false;
    }
}

void work()
{
    for(int i = 0; i < 3; i++){
        for(int j = i + 1; j < 3; j++){
            if(solve(a[i], b[i], a[j], b[j])){
                if(i == 0)
                {
                    printf("%lld %lld %lld
", ans1, j == 1?ans2:0, j==1?0:ans2);
                    //return;
                }
                else{
                    printf("0 %lld %lld
", ans1, ans2);
                    //return ;
                } 
                return;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        for(int i = 0; i < 3; i++){
            scanf("%lld%lld", &a[i], &b[i]);
        }
        work();
    }    
    
        
    return 0;
}