矩阵求和

矩阵求和

难度级别：A； 编程语言：不限；运行时间限制：3000ms； 运行空间限制：256000KB； 代码长度限制：2000000B

试题描述

矩阵求和

输入

第一行n和m，表示行数和列数
接下来n行表示矩阵
再来一行一个整数q，表示询问个数
接下来q行，每行四个整数x1,y1,x2,y2表示左上右下的坐标

输出

对于每个询问输出一个整数表示该矩阵范围内的整数和

输入示例

5 5
1 2 5 4 1
1 1 7 6 8
8 7 9 5 2
4 4 4 1 8
5 10 11 13 7
3
2 1 4 3
2 2 5 5
4 1 5 4

输出示例

45
103
52

其他说明

n,m < 2001
q < 100001
矩阵内所有数小于2000

代码：

#include<iostream>

int a,m,n,i,j,k,x1,y1,x2,y2;

long long sum,s[2002][2002]={0};//数组s用来储存前缀和

using namespace std;

int main()

{

            scanf("%d%d",&m,&n);

for(i=1;i<=m;i++)//输入，赋值二维数组s

                for(j=1;j<=n;j++)

                {

                     scanf("%d",&a);//为了节省空间，以单个变量输入

                     s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a;

                }

            scanf("%d",&k);

            while(k--)

            {

                 scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);

                 sum=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];

                 printf("%lld
",sum);

            }

}

代码分析：

有三种方法：

1．    直接求解，按单个元素记录。因此，k次查询里每次都要有两个循环，一个横着在这个区间里扫描，另一个竖着扫描。

代码如下：

#include<iostream>

int a[2010][2010],m,n,i,j,k,b,c,d,e;

long long sum;

using namespace std;

int main()

{

    scanf("%d%d",&m,&n);

    for(i=1;i<=m;i++)

    {

        for(j=1;j<=n;j++)

        scanf("%d",&a[i][j]);

    }

    cin>>k;

    while(k--)

    {

        sum=0;

        scanf("%d%d%d%d",&b,&c,&d,&e);

        for(i=b;i<=d;i++)//两次循环

            for(j=c;j<=e;j++)

                sum+=a[i][j];

        printf("%lld
",sum);

               

    }

}

这个方法显然效率太低，两次循环太耗费时间了，所以要考虑运用前缀和的办法了。

2．    利用之前数组储存前缀和的办法，给这个二维数组每行都求一个前缀和，然后在查询时，用要求的区间当中每一行的从y1到y2的和，用s[x][y2]-s[x][y1-1]（x为第x行）

所以采用这个方法效率比上一个方法更快。

代码：

#include<iostream>

int a,m,n,i,j,k,b,c,d,e,s[2002][2002]={0};

long long sum;

int main()

{

    scanf("%d%d",&m,&n);

    for(i=1;i<=m;i++)

        for(j=1;j<=n;j++)

        {

            scanf("%d",&a);

            s[i][j]=s[i][j-1]+a;

        }

    scanf("%d",&k);

    while(k--)

    {

        sum=0;

        scanf("%d%d%d%d",&b,&c,&d,&e);

        for(i=b;i<=d;i++)

            sum+=(s[i][e]-s[i][c-1]);

        printf("%lld
",sum);

    }

}

这个方法不用两次循环，可还是有一次循环，但这还不能令人满意，有没有更快的方法呢？

分析上两个方法，我们发现：

这是第一个方法，它是以单个元素来求解的（以点做前缀和的）。一步步来累加。

第二个方法，前缀和，相当于是以行做单位求解。

既然，以行做前缀和的有了，    以点做前缀和的有了，那能不能以面做前缀和呢？

分析如下：

如此，推算赋值公式就如韦恩图那样：

 

把s[i-1][j]和s[i][j-1]加起来，s[i-1][j-1]部分重叠了，所以要减去，在加上输入的a，就得到：

s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a;

而输出就也像上面一样，s[x2][y2]是从坐标（1，1）开始的，所以要减去s[x2][y1-1]和s[x1-1][y2],s[x1-1][y1-1]被多减了，所以要加上。

代码：

#include<iostream>

long long sum,a,m,n,i,j,k,x1,y1,x2,y2,s[2002][2002]={0};

using namespace std;

int main()

{

    scanf("%d%d",&m,&n);

    for(i=1;i<=m;i++)

        for(j=1;j<=n;j++)

        {

            scanf("%d",&a);

            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a;

        }

    scanf("%d",&k);

    while(k--)

    {

        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);

        sum=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];

        printf("%lld
",sum);

    }

}

这个方法只用一次运算便求出了解，所以它是三个方法中最快的方法。