每一对顶点间最短路径的Floyd算法

Floyd思想可用下式描述:

A-1[i][j]=gm[i][j]

A(k+1)[i][j]=min{Ak[i][j],Ak[i][k+1]+Ak[K+1][j]}    -1<=k<=n-2

该式是一个迭代公式,Ak表示已考虑顶点0,1,.......,k等k+1个顶点之后各顶点之间的最短路径,即Ak[i][j]表示由Vi到Vj已考虑顶点0,1,.......,k等k+1个顶点的最短路径;在此基础上再考虑顶点k+1并求出各顶点在考虑了顶点k+1之后的最短路径,即得到Ak+1.每迭代一次,在从vi到vj的最短路径上就多考虑了一个顶点;经过n次迭代后所得到的A(n-1)[i][j]值,就是考虑所有顶点后从Vi到Vj的最短路径,也就是最终的解。

若Ak[i][j]已经求出,且顶点i到顶点j的路径长度为Ak[i][j],顶点i到顶点k+1的路径长度为Ak[i][k+1],顶点k+1到顶点j的路径长度为Ak[K+1][j],现在考虑顶点k+1,如果Ak[i][K+1]+Ak[k+1][j]<Ak[i][j],则将原来顶点i到顶点j的路径改为:顶点i到顶点k+1,再由顶点k+1到顶点j;对应的路径长度为:A(k+1)[i][j]=Ak[i][k+1]+Ak[k+1][j];否则无需修改顶点i到顶点j的路径.

参考代码:

#include<stdio.h>
#define MAXSIZE 6//带权有向图中顶点的个数
#define INF 32767

void Ppath(int path[][MAXSIZE],int i,int j)//前向递归查找路径上的顶点，MAXSIZE为常数
{
 int k;
 k=path[i][j];
 if(k!=-1)
 {
     Ppath(path,i,k);//找顶点vi的前一个顶点vk
     printf("%d->",k);//输出顶点vk序号k
     Ppath(path,k,j);//找顶点vk的前一个顶点vj
 }
}

void Dispath(int A[][MAXSIZE],int path[][MAXSIZE],int n)//输出最短路径的函数
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
            if(A[i][j]==INF)//INF为一极大常数
            {
                if(i!=j)
                    printf("从%d到%d没有路径!
",i,j);
            }
            else//从vi到vj有最短路径
            {
                printf("从%d到%d的路径长度:%d,路径:",i,j,A[i][j]);
                printf("%d->",i);//输出路径上的起点序号i
                Ppath(path,i,j);//输出路径上的各中间点序号
                printf("%d
",j);//输出路径的终点序号j
            }
}

void Floyd(int gm[][MAXSIZE],int n)//Floyd算法
{
    int A[MAXSIZE][MAXSIZE],path[MAXSIZE][MAXSIZE];
    int i,j,k;
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
        {A[i][j]=gm[i][j];//A-1[i][j]置初值
         path[i][j]=-1;//-1表示初始时最短路径不经过中间顶点
        }
        for(k=0;k<n;k++)//按顶点编号k递增的次序查找当前顶点之间的最短路径长度
            for(i=0;i<n;i++)
                for(j=0;j<n;j++)
                    if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j])
                    {A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];//从vi到vj经过vk时路径长度更短
                     path[i][j]=k;//记录中间顶点Vk的编号
                    }
                    Dispath(gm,path,n);//输出最短路径
}

void main()
{
    int g[MAXSIZE][MAXSIZE]={{INF,20,15,INF,INF,INF},{2,INF,INF,INF,10,30},{INF,4,INF,INF,INF,10},
    {INF,INF,INF,INF,INF,INF},{INF,INF,INF,15,INF,INF},{INF,INF,INF,4,10,INF}};
    Floyd(g,MAXSIZE);
}     

输出结果: