CRT&EXCRT学习笔记

CRT

用于求解线性同余方程组 ，其中模数两两互质 .

引理：

1.若 \(x \equiv 0 \pmod p\) 且 \(y \equiv 0 \pmod p\) ，则有 \(x+y \equiv 0 \pmod p\)

2.若 \(x \equiv b \pmod p\) 且 ,\(y \equiv 0 \pmod p\) ，则有 \(x+y \equiv b \pmod p (0\leq b<p)\)

则整个方程组可以写为

\(b_1\times \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} + \cdots+b_i\times \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\) + \(\cdots\) +\(b_n\times \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)

也就是说，想要求出最终方程组的解就只需要求出上面每个方程的解。

考虑每个式子中，因为每两个模数之间两两互质，设 \(N=\sum_{i=1}^nm_i\)

则 \(gcd(\frac{N}{m_i} , m_i)=1\) ，\(\frac{N}{m_i}\) 即为其他模数的 lcm。

也为其他 \(n-1\) 个方程的公共解，则第 \(i\) 个方程的解可以写成 \(x_i=\frac{N}{m_i} \times y\)

有 \(\frac{N}{m_i}\times y \equiv 1\pmod {m_i}\)

等价于 \(\frac{N}{m_i}\times y+m_i\times z=1\) ，可以用扩展欧几里得求解。

求出 \(x_i\) 后 ，有 \(b_i\times x_i \equiv b_i \pmod {m_i}\)

最后整个方程组的解就为 \(X = \sum_{i=1}^n b_i \times x_i \pmod N\)

Code:

#include<stdio.h>
#define N 100

long long W[N],B[N],nn,T;
inline void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;
    }else{
        exgcd(b,a%b,x,y);
        long long t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
    }
}
inline long long China(long long k){
    long long x,y,a=0,m,n=1;
    for(long long i=0;i<k;i++) n*=W[i];
    for(long long i=0;i<k;i++){
        m=n/W[i];
        exgcd(W[i],m,x,y);
        a=a+y*B[i]*m;
    }
    a%=n;
    while(a<=0) a+=n;
    while(a>=n) a-=n;
    return a;
}
signed main(){
    scanf("%lld",&nn);
    for(long long i=0;i<nn;i++)
        scanf("%lld",&B[i]);
    for(long long i=0;i<nn;i++)
        scanf("%lld",&W[i]);
    for(long long i=0;i<nn;i++)
        B[i]=(B[i]%W[i]+W[i])%W[i];
    printf("%lld",China(nn));
}

EXCRT

其实中国剩余定理和它的扩展版本关系并不大。

模数不是两两互质的，也就是说先前求的 \(N\) 不是它们的 LCM，不能直接用。

我们考虑构造的方法，假设我们已经求出了前 \(k-1\) 个方程的和解，现在需要合并第 \(k\) 个方程。

设前 \(k-1\) 个方程的和解为 \(X\)，则他们的通解可以写成 \(X + t \times N\) (其中 \(N\) 为前 \(k-1\) 个模数的 LCM)

则要合并第k个方程，即要解如下方程 $ X + t\times N \equiv b_k \pmod {m_k}$

此方程又等价于 $ t \times N + m_k \times y = b_k-X $

显然可用扩欧。求出 \(t\) 后 ，前 \(k\) 个方程的解就为 \(X^{'}=X+t\times N\)，继续更新 \(N\) ，\(N=lcm(N,m_k)\)

Code:

#include<stdio.h>
#define N 100006
#define ll long long

ll a[N],b[N],ans,B,M,GCD,x,y;
int n;
template<class T>
inline void read(T &x){
    x=0;T flag=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
    x*=flag;
}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &xx,ll &yy){
    if(!b){
        xx=1;yy=0;
        return a;
    }
    ll gcd=exgcd(b,a%b,xx,yy);
    ll tmp=xx;
    xx=yy;
    yy=tmp-(a/b)*yy;
    return gcd;
}
inline ll mul(ll a,ll b,ll Mod){
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans+a)%Mod;
        a=(a<<1)%Mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        read(a[i]),read(b[i]);
    ans=b[1];
    M=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        B=(b[i]-ans%a[i]+a[i])%a[i];
        GCD=exgcd(M,a[i],x,y);
        x=mul(x,B/GCD,a[i]);
        ans+=M*x;
        M*=a[i]/GCD;
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    printf("%lld",ans);
}
/*
3
11 6
25 9
33 17
*/