CF868F Yet Another Minimization Problem 分治决策单调性优化DP

题意：

　　给定一个序列，你要将其分为k段，总的代价为每段的权值之和，求最小代价。

　　定义一段序列的权值为$sum_{i = 1}^{n}{inom{cnt_{i}}{2}}$,其中$cnt_{i}$表示当前这段序列中数字大小为i的数的个数。

题解：

　　先考虑暴力DP， f[i][j]表示DP到i位，分为j段的最小代价。

　　则$f[i][j] = min(f[l - 1][j] + sum[l][i])$,其中sum[l][i]表示区间[l, i]分成一段的代价。

　　然后可以发现，这是具有决策单调性的，简易证明：

　　　　首先设l < j < i.

　　　　假设f[i][t]从f[j - 1][t - 1]转移而来，则有$f[j - 1][t - 1] + w[j][i] < f[l - 1][t - 1] + w[l][i]$.

　　　　现在考虑i + 1的情况，观察到$inom{cnt_{i}}{2}$的式子经过化简后恰好可以表示0 ~ n - 1这个等差数列的求和公式，因此w[j][i]可以O(1)的转移到w[j][i + 1],即w[j][i + 1] = w[j][i] + sum[j][i];.sum[j][i]表示这个区间内某个颜色的数量（懒得再打一维了，这个理解一下就好，只是这么表示而已）

　　　　所以f[i + 1][t] = min(f[j - 1][t - 1] + w[j][i] + sum[j][i], f[l - 1][t - 1] + w[l][i] + sum[l][i]);//可以发现，由于$l < j$,所以$sum[l][i] >= sum[j][i]$,而式子的另一部分，也就是和f[i][t]相同的部分也是左边小于右边，因此j一定比l优。

　　　因此可以利用决策单调性来优化DP，因为无法O(1)得知w[i][j]的值，因此无法用二分单调栈来进行优化，于是我们考虑分治。

　　　不知道如何用分治优化决策单调性戳：决策单调性优化DP

　　然后注意到对于这题而言，暴力转移的复杂度还是太高了，于是考虑利用以下之前已有的信息，设当前已经被求出权值的区间为[ll, rr],权值为rnt.

　　那么每次转移的时候暴力将这个区间转移至当前需要的区间，于是就可以做到重复利用之前已经求出的信息。　　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define AC 101000
#define LL long long
#define inf 1e18

int n, k, now, ll, rr;
int s[AC], sum[AC];
LL f[AC][22], rnt;

inline int read()
{
    int x = 0;char c = getchar();
    while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

void pre()
{
    n = read(), k = read();
    for(R i = 1; i <= n; i ++) s[i] = read();
}

void cal(int l, int r)
{
    while(rr < r) rnt += sum[s[++ rr]] ++;
    while(rr > r) rnt -= -- sum[s[rr --]];
    while(ll > l) rnt += sum[s[-- ll]] ++;
    while(ll < l) rnt -= -- sum[s[ll ++]];    
}

void solve(int l, int r, int kl, int kr)//当前区间[l, r],决策点区间[kl, kr]
{
    if(l > r) return ;
    int mid = (l + r) >> 1, k = -1, b = min(mid, kr);
    for(R i = kl; i <= b; i ++)//枚举当前段开头
    {
        cal(i, mid);
        if(rnt + f[i - 1][now - 1] < f[mid][now])
            f[mid][now] = rnt + f[i - 1][now - 1], k = i;
    }
    solve(l, mid - 1, kl, k), solve(mid + 1, r, k, kr);
}

void work()
{
    for(R i = 1; i <= n; i ++)
        for(R j = 0; j <= k; j ++) f[i][j] = inf;
    ll = 1, rr = n;
    for(R i = 1; i <= n; i ++) rnt += sum[s[i]] ++;
    for(now = 1; now <= k; now ++) solve(1, n, 1, n);//分层做k次
    printf("%lld
", f[n][k]);
}

int main()
{
    freopen("in.in", "r", stdin);
    pre();
    work();
    fclose(stdin);
    return 0;
}