经过了之前教程的过渡，本次我们来讲解一个相当重要的变换——SIFT尺度不变特征变换，之所以称其为尺度不变，是因为其不受图片放缩以及旋转的影响。
在前两个教程中，我们看到了一些像Harris这样的拐角检测器。它们是旋转不变的，这意味着即使图像旋转了，我们也可以找到相同的角。很明显，因为转角在旋转的图像中也仍然是转角。但是缩放呢？如果缩放图像，则拐角可能不是角。例如，检查下面的简单图像。在同一窗口中放大小窗口中小图像中的拐角时，该角是平坦的，因此，Harris拐角不是尺度不变的。
因此，在2004年，不列颠哥伦比亚大学的D.Lowe在他的论文《尺度不变关键点中的独特图像特征》中提出了一种新算法，即尺度不变特征变换(SIFT)，该算法提取关键点并计算其描述算符。 SIFT算法主要包括四个步骤。 我们将一一看到它们：
1. 尺度空间的极值检测 搜索所有尺度空间上的图像，通过高斯微分函数来识别潜在的对尺度和选择不变的兴趣点。
2. 特征点定位 在每个候选的位置上，通过一个拟合精细模型来确定位置尺度，关键点的选取依据他们的稳定程度。
3. 特征方向赋值 基于图像局部的梯度方向，分配给每个关键点位置一个或多个方向，后续的所有操作都是对于关键点的方向、尺度和位置进行变换，从而提供这些特征的不变性。
4. 特征点描述 在每个特征点周围的邻域内，在选定的尺度上测量图像的局部梯度，这些梯度被变换成一种表示，这种表示允许比较大的局部形状的变形和光照变换。
本次教程我们将主要看前两个步骤。
尺度空间
在一定的范围内，无论物体是大还是小，人眼都可以分辨出来。然而计算机要有相同的能力却不是那么的容易，在未知的场景中，计算机视觉并不能提供物体的尺度大小，其中的一种方法是把物体不同尺度下的图像都提供给机器，让机器能够对物体在不同的尺度下有一个统一的认知。在建立统一认知的过程中，要考虑的就是在图像在不同的尺度下都存在的特征点。
在早期图像的多尺度通常使用图像金字塔表示形式。图像金字塔是同一图像在不同的分辨率下得到的一组结果，其生成过程一般包括两个步骤：
1. 对原始图像进行平滑
2. 对处理后的图像进行降采样（通常是水平、垂直方向的1/2）
降采样后得到一系列不断尺寸缩小的图像。显然，一个传统的金字塔中，每一层的图像是其上一层图像长、高的各一半。多分辨率的图像金字塔虽然生成简单，但其本质是降采样，图像的局部特征则难以保持，也就是无法保持特征的尺度不变性。
我们还可以通过图像的模糊程度来模拟人在距离物体由远到近时物体在视网膜上成像过程，距离物体越近其尺寸越大图像也越模糊，这就是高斯尺度空间，使用不同的参数模糊图像（分辨率不变），是尺度空间的另一种表现形式。
我们知道图像和高斯函数进行卷积运算能够对图像进行模糊，使用不同的“高斯核”可得到不同模糊程度的图像。一副图像其高斯尺度空间可由其和不同的高斯卷积得到：
其中，G(x,y,σ)是高斯核函数。
σ称为尺度空间因子，它是高斯正态分布的标准差，反映了图像被模糊的程度，其值越大图像越模糊，对应的尺度也就越大。L(x,y,σ)代表着图像的高斯尺度空间。
构建尺度空间的目的是为了检测出在不同的尺度下都存在的特征点，而检测特征点较好的算子是Δ2G(高斯拉普拉斯,LoG）,
使用LoG虽然能较好的检测到图像中的特征点，但是其运算量过大，通常可使用DoG（差分高斯，Difference of Gaussina）来近似计算LoG
设k为相邻两个高斯尺度空间的比例因子，则DoG的定义为：
其中，L(x,y,σ)是图像的高斯尺度空间。
从上式可以知道，将相邻的两个高斯空间的图像相减就得到了DoG的响应图像。为了得到DoG图像，先要构建高斯尺度空间，而高斯的尺度空间可以在图像金字塔降采样的基础上加上高斯滤波得到，也就是对图像金字塔的每层图像使用不同的参数σ进行高斯模糊，使每层金字塔有多张高斯模糊过的图像。降采样时，金字塔上边一组图像的第一张是由其下面一组图像倒数第三张降采样得到。
同时我们也可以知道，高斯金字塔有多组，每组又有多层。一组中的多个层之间的尺度是不一样的（也就是使用的高斯参数σ是不同的），相邻两层之间的尺度相差一个比例因子k。上一组图像的最底层图像是由下一组中尺度为2σ的图像进行因子为2的降采样得到的（高斯金字塔先从底层建立）。高斯金字塔构建完成后，将相邻的高斯金字塔相减就得到了DoG金字塔。
高斯金字塔的组数一般是：
o表示高斯金字塔的层数，m，n分别是图像的行和列。减去的系数a可以在0−log2min(m,n)之间的任意值，和具体需要的金字塔的顶层图像的大小有关。
高斯模糊参数σ（尺度空间），可由下面关系式得到：
其中o为所在的组，s为所在的层，σ0为初始的尺度，S为每组的层数。
在Lowe的算法实现中
就是首先将原图像的长和宽各扩展一倍。
从上面可以得知同一组内相邻层的图像尺度关系：
相邻组之间的尺度关系：
DoG空间极值检测
为了寻找尺度空间的极值点，每个像素点要和其图像域（同一尺度空间）和尺度域（相邻的尺度空间）的所有相邻点进行比较，当其大于（或者小于）所有相邻点时，改点就是极值点。如图所示，中间的检测点要和其所在图像的3×3邻域8个像素点，以及其相邻的上下两层的3×3领域18个像素点，共26个像素点进行比较。
从上面的描述中可以知道，每组图像的第一层和最后一层是无法进行比较取得极值的。为了满足尺度变换的连续性，在每一组图像的顶层继续使用高斯模糊生成3幅图像，高斯金字塔每组有S+3层图像，DoG金字塔的每组有S+2组图像。
接下来我们将删除一些不必要的特征点（极值点），我们将在下个教程中介绍，同时给以实战代码。