树状数组（Binary Indexed Tree）

原文博客链接：https://www.cnblogs.com/acgoto/p/8583952.html

对于学习的线段树方面的，发现很多问题可以用它来求解，但是做题的时候发现，用线段树太容易tle也，很多次也是卡时间过的，然后就发现了树状数组。

首先我们搞明白树状数组是用来干嘛的，树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值，经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

所以说，树状数组的求解和线段树的求解有些重合，但是功能没有线段树的那么广泛。但是对树状数组来说，其思想大概是用二进制的方法来实现。

先简单介绍下基本二进制的使用方法：

& 按位与       如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0
| 按位或        两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1
^ 按位异或    若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
~ 取反           ~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将0变1，将1变0
<< 左移         用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补0  （<<1则是乘2）
>> 右移         将一个数的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0（>>1则是除2）

原理：lowbit      

 lowbit这个函数的功能就是求某一个数的二进制表示中最低的一位1，举个例子，x = 6，它的二进制为110，那么lowbit(x)就返回2，因为最后一位1表示2。

那么怎么求lowbit呢？把这个数的二进制写出来，然后从右向左找到第一个1(这个1就是我们要求的结果，但是现在表示不出来，后来的操作就是让这个1能表示出来)，这个1不要动和这个1右边的二进制不变，左边的二进制依次取反，这样就求出的一个数的补码，说这个方法主要是让我们理解一个负数的补码在二进制上的特征，然后我们把这个负数对应的正数与该负数与运算一下，由于这个1的左边的二进制与正数的原码对应的部分是相反的，所以相与一定都为0,；由于这个1和这个1右边的二进制都是不变的，因此，相与后还是原来的样子，故，这样搞出来的结果就是lowbit(x)的结果。

自己来理解一下是怎么存的数据到c数组里面

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <fstream>
#include <list>
#include <iomanip>
#include <numeric>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define me0 memset(s,0,sizeof(s))
#define me1 memese(s,1,sizeof(s))
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N=100005;
int a[N],b[N],c[N];
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void update(int i,int cc,int n){
    while(i<=n){
        c[i]+=cc;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int main(int argc, char * argv[]) 
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        update(i,a[i],n);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<c[i]<<" ";
    return 0;
}

输入：

5

1 2 3 4 5

运行结果：

1 3 3 10 5

结合图一起看，

c[1]=1,

c[2]=a[1]+a[2]=3

c[3]=a[3]=3

c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=10

c[5]=a[5]=5

然后后面的看到大佬的博客就直接贴个博客链接了，感觉大佬讲解的很详细了。

贴个大佬的模板：

int lowbit(int i){
    return i & -i;
} 

//-i 代表i的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
例如 : i=6（0110） 此时 k=1
-i=-6=(1001+1)=(1010)
i&(-i)=(0010)=2=2^1

void update(int x,int cc,int n){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) //x为更新的位置,cc为更新后的数,n为数组最大空间 
    c[i]+=cc;
}

int sum(int x){  //求区间[1,x]内所有元素的和 
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
    ans+=c[i];  // 从右往左累加求和 
    return ans;
}

来题模板题目 hdu1166 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c[50004]; 
int lowbit(int i){
    return i&(-i);
}

void update(int x,int cc,int n){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) //x为更新的位置,cc为更新后的数,n为数组最大空间 
    c[i]+=cc;
}

int sum(int x){  //求区间[1,x]内所有元素的和 
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
    ans+=c[i];  // 从右往左累加求和 
    return ans;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int t,x,y,a;
    char s[10];
    cin>>t;
    for(int z=1;z<=t;z++){
        memset(c,0,sizeof(c));
        int n,a;
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>a;
            update(i,a,n);
        }
        cout<<"Case "<<z<<":"<<endl;
        while(1){
            cin>>s;
            if(s[0]=='E') break;
            cin>>x>>y;
            if(s[0]=='A'){
                update(x,y,n);
            }
            if(s[0]=='S'){
                update(x,-y,n);
            }
            if(s[0]=='Q'){
                cout<<sum(y)-sum(x-1)<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}