若a*b≡1（mod p）
即a，b互为mod p意义下的逆元
即（x/a）%p应为x*b%p
一、扩展欧几里得求逆元
根据a*b+p*k=1
板子O(logN)：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 typedef long long ll; 3 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { 4 if(!b) { 5 x=1,y=0; 6 return a; 7 } 8 ll res=exgcd(b,a%b,y,x); 9 y-=a/b*x; ///x=x1,y=x1-a/b*y1 x1,y1代表下一状态 10 return res; 11 } 12 int main() 13 { 14 ll a,p,x,y; ///扩展欧几里得计算a的逆元（mod p） 15 scanf("%lld%lld",&a,&p); 16 ll d=exgcd(a,p,x,y); 17 printf(d==1?"%lld":"-1",(x+p)%p);///最大公约数不为1，逆元不存在，输出-1 18 return 0; 19 }
二、费马小定理求逆元(p为素数)
p为素数，则有$a^{p-1}=1(mod p)$
则$a^{p-2}*a=1(mod p)$
即$a^{p-2}$为a mod p意义下的逆元
板子O(logp):
1 #include<bits/stdc++.h> 2 typedef long long ll; 3 ll quickpowmod(ll a,ll b,ll mod) { 4 ll ans=1; 5 while(b) { 6 if(b&1) ans=(ans*a)%mod; 7 b>>=1; 8 a=(a*a)%mod; 9 } 10 return ans; 11 } 12 int main() 13 { 14 ll a,p; ///费马小定理计算a的逆元（mod p） 15 scanf("%lld%lld",&a,&p); 16 ll inva=quickpowmod(a,p-2,p); 17 printf("%lld",inva); 18 return 0; 19 }
三、欧拉定理求逆元（a，p互素）
a,p互素，则有$a^{varphi (p) }=1(mod p)$
则$a^{varphi (p) -1}*a=1(mod p)$
即$a^{varphi (p) -1}$为a mod p意义下的逆元
板子(logp)：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 typedef long long ll; 3 ll get_euler(ll x) { 4 ll ans=x; 5 for(ll i=2;i*i<=x;i++) 6 if(x%i==0) { 7 ans=ans/i*(i-1); 8 while(ans%i==0) ans/=i; 9 } 10 if(ans>1) ans=ans/x*(x-1); 11 return ans; 12 } 13 ll quickpowmod(ll a,ll b,ll mod) { 14 ll ans=1; 15 while(b) { 16 if(b&1) ans=(ans*a)%mod; 17 b>>=1; 18 a=a*a%mod; 19 } 20 return ans; 21 } 22 int main() 23 { 24 ll a,p,x,y; 25 scanf("%lld%lld",&a,&p); ///a与p互素 26 ll inva=quickpowmod(a,get_euler(p)-1,p); 27 printf("%lld",inva); 28 return 0; 29 }
四、递推求逆元
设p是模数，i是待求的逆元，我们求的是$i^{-1}$在mod p意义下的值
$p=k * i + r $，令 r < i,则k=p/i,r=p%i
$k * i + r ≡0 (mod p)$
$k * r^{-1} + i^{-1} ≡0 (mod p)$
$ i^{-1} ≡ - k * r^{-1} (mod p)$
$ i^{-1} ≡ - frac {p} {i} * inv( p mod i ) (mod p) $
1 LL inv[mod+5]; 2 void getInv(LL mod) 3 { 4 inv[1]=1; 5 for(int i=2;i<mod;i++) 6 inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; 7 }
- 适用范围：mod数是不大的素数而且多次调用，比如卢卡斯定理。
五、递归求逆元
1 LL get_inv(int i) { 2 if(i==1) return 1; 3 return (mod-mod/i)*(inv[mod%i])%mod; 4 }
参考博客：https://blog.csdn.net/xiaoming_p/article/details/79644386