MindSpore 高阶优化器
MindSpore自研优化器THOR(Trace-based Hardware-driven layer-ORiented Natural Gradient Descent Computation)，该优化器在ImageNet上训练ResNet50，使用MindSpore+8 Ascend 910 仅需66.7分钟，当使用256节点时仅需2.7分钟！
关于一二阶优化器，其中二阶优化器与一阶优化器相比收敛速度更快，但缺点是二阶信息矩阵求逆复杂度高，为
, 其中 n 为二阶信息矩阵维度，当模型参数量为
时，对应的二阶信息矩阵的大小为 
。在深度学习模型中, 
常常在数百万的量级，此时二阶信息矩阵的逆无法计算。因此如何降低二阶信息矩阵求逆的计算复杂度成为关键问题。
MindSpore针对该问题，提出了自研算法THOR，该算法是基于自然梯度法，对Fisher矩阵做了近似，自然梯度法中的 
矩阵可以表示为：
其中
是网络模型的预测分布，
是其概率密度， 
是需要网络模型的参数。
那THOR主要做了哪些改进呢，我们一起来看一下：
1. 降低二阶信息矩阵更新频率
通过实验观察
矩阵的F范数（Frobenius norm），在前期变化剧烈，后期逐渐变稳定，从而假设
是一个马尔可夫过程，可以收敛到一个稳态分布π，其中 
代表第k个迭代时的
矩阵。因此，在训练过程中逐步增大
矩阵的更新间隔，可以在不影响收敛速度的情况下，减少训练时间。例如在ResNet50中，更新间隔步数随着训练的进行越来越大，到后期每个epoch只需更新一次二阶信息矩阵，如下图所示。
THOR受KFAC启发，将
矩阵按层解耦来降低矩阵复杂度，分别针对每一层的
矩阵做实验，发现有些层的
矩阵趋于稳态的速度更快，因此在统一的更新间隔上，更加细粒度的去调整每一层的更新频率。THOR使用矩阵的迹作为判断条件，当迹的变化情况大于某一阈值时，更新该层的二阶信息矩阵，否则沿用上一个迭代的二阶信息矩阵，并且引入了停止更新机制，当迹的变化量小于某个阈值时，停止更新该层二姐信息矩阵，具体更新公式如下：
2. 硬件感知矩阵切分
THOR在将
矩阵按层解耦的基础上，进一步假设每个网络层中的输入和输出块之间也是独立的，例如将每层网络的输入输出切分为n个块，这n个块之间即是独立的，根据该假设，对二阶信息矩阵做进一步的切分，从而提高了计算效率。THOR结合矩阵信息损失数据和矩阵性能数据确定了矩阵分块维度，从而大大提升
矩阵求逆时间。
那么如何确定矩阵分块维度的呢。具体方法为：
（1）根据
矩阵中维度最大的那一层，确定矩阵切分维度，拿ReseNet-50举例，网络层中的最大维度为2048，确定矩阵切分维度为[1,16,32,64,128,256,512,1024,2048]；
（2）根据确定的矩阵维度，根据谱范数计算每个维度下的矩阵损失，具体公式为
其中 
表示矩阵 X 的最大特征值， A 表示原始未分割矩阵，
表示分割后的矩阵。然后统计在该维度下损失小于1%的矩阵数量，最后通过除以总的矩阵数量得到标准化后的矩阵损失信息。
（3）根据确定的矩阵维度，计算每个维度下的矩阵求逆时间，再通过公式
得到每个维度下标准化后性能数据，其中
表示维度最小的矩阵的性能数据，
表示第n个维度下的性能数据。
（4）根据标注化后的矩阵损失信息和标准化后的性能数据绘图，如以ResNet50为例，可得到下图，图中交叉点为106，与128最接近，最后确定矩阵切分维度为128。
3. 实验结果
下图展示了THOR在ResNet50+ImageNet，batchsize为256时一二阶上的训练曲线图。
图中的THOR，THOR_stop，THOR_NT分表表示 ，从图中可以看到THOR收敛所需迭代数大约是一阶的一半，且单step的时间与一阶相差也不大。相比一阶算法需要117min，二阶优化器端到端时间提速约40%。
THOR还测试了在不同batchsize下ResNet50+ImageNet的收敛结果，结果见下表，当batchsize为8192，使用256块Ascend 910时，只需2.7分钟精度即可收敛到75.9%，该结果在业界也是非常有竞争力的。MindSpore团队还会将THOR进一步应用到NLP领域中，如Bert和GPT-3，THOR在NLP任务上的表现。
