Generate Parentheses

Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.

For example, given n = 3, a solution set is:

"((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"

这道题其实是关于卡特兰数的，如果只是要输出结果有多少组，那么直接用卡特兰数的公式就可以。关于卡特兰数，请参见卡特兰数-维基百科，里面有些常见的例子，这个概念还是比较重要的，因为很多问题的原型其实都是卡特兰数，大家可以看看。特别是其中

这个递推式的定义，很多这类问题都可以归结成这个表达式。这个题对于C的定义就是第一对括号中包含有几组括号。因为第一组括号中包含的括号对数量都不同，所以不会重复，接下来就是一个递归定义，里面又可以继续用更小的C去求组合可能性。
说完卡特兰数的内容，我们来看看这个具体问题怎么解决。一般来说是用递归的方法，因为可以归结为子问题去操作。在每次递归函数中记录左括号和右括号的剩余数量，然后有两种选择，一个是放一个左括号，另一种是放一个右括号。当然有一些否定条件，比如剩余的右括号不能比左括号少，或者左括号右括号数量都要大于0。正常结束条件是左右括号数量都为0。算法的复杂度是O(结果的数量)，因为卡特兰数并不是一个多项式量级的数字，所以算法也不是多项式复杂度的。

C++实现代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
    vector<string> generateParenthesis(int n) {
        if(n==0)
            return vector<string>();
        vector<string> ret;
        string str;
        generate(n,n,ret,str);
        return ret;
    }
    void generate(int left,int right,vector<string> &ret,string &str)
    {
        if(left>right)
            return;
        if(left==0&&right==0)
        {
            ret.push_back(str);
            return;
        }
        if(left>0)
        {
            str.push_back('(');
            generate(left-1,right,ret,str);
            str.pop_back();
        }
        if(right>0)
        {
            str.push_back(')');
            generate(left,right-1,ret,str);
            str.pop_back();
        }
    }
};

int main()
{
    Solution s;
    vector<string> result=s.generateParenthesis(3);
    for(auto a:result)
        cout<<a<<endl;
}

 如果不传引用，就需要恢复，会更快一点：

class Solution {
public:
    vector<string> generateParenthesis(int n) {
        if(n<=0)
            return vector<string>();
        vector<string> res;
        string path;
        generate(n,n,res,path);
        return res;
    }
    void generate(int left,int right,vector<string> &res,string path)
    {
        if(left>right)
            return;
        if(left==0&&right==0)
        {
            res.push_back(path);
            return;
        }
        if(left)
        {
            generate(left-1,right,res,path+'(');
        }
        if(right)
        {
            generate(left,right-1,res,path+')');
        }
    }
};