对于整数a,b,x,y,c
有a*x+b*y=c,如果c不是a与b的最大公约数的倍数,那么此方程无解
证明:设gcd(a,b)=d,即最大公约数,那么a*x%d=0,b*y%d=0
则(a*x+b*y)%d=0,说明c是一个d的倍数,相反的,如果c不是d的倍数,那么次方程无解
对于欧几里得算法 int extend_eulid(int a,int b,int &x,int &y)
返回值是a,b的最大公约数,求解的x和y满足a*x+b*y=d的一个解
那么如何求a*x+b*y=c的解呢?假设x0,y0,是通过欧几里得算出来的一个解,即a*x0+b*y0=d,因为c%d=0
因此:a*x0*(c/d)+b*y0*(c/d)=d*(c/d)转化为 a*(x0*(c/d))+b*(y0*(c/d))=c
所以算出a*x+b*y=c的解 x=x0*(c/d), y=y0*(c/d)。
令r=fabs(b/d);//保证为正数
minx = (x%r+r)%r为最小非负解(这一点没想明白)
因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=d
a*x+b*y=d,b*x0+(a%b)y0=d
所以a*x+b*y=b*x0+(a%b)y0
=b*x0+(a-a/b*b)y0
=a*y0+b*(x0-a/b*y0)
因此x=y0, y = x0 – a / b * y0;
由此可得到递归程序:
1 #include <iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 6 int extend_euclid(int a,int b,int &x,int &y) 7 { 8 //b等于0时递归结束,得到该步的解,通过该解返回到上一步的出上一步的解 9 if(b==0) 10 { 11 x=1; 12 y=0; 13 return a; 14 } 15 int d = extend_euclid(b,a%b,x,y); 16 int t = x; 17 x=y; 18 y=t-a/b*y; 19 return d;//a,b的最大公约数 20 } 21 int main() 22 { 23 int x,y; 24 printf("%d ",extend_euclid(9,15,x,y)); 25 printf("%d% d ",x,y); 26 return 0; 27 }