定义：
(gcdleft ( x,y ight )=1)，且 (fleft ( xy ight )=fleft ( x ight )fleft ( y ight ))，则(fleft ( n ight ))为积性函数。
若对任意的正整数(a,b)都有 (fleft ( ab ight )=fleft ( a ight )fleft ( b ight ))，则称(f)是完全积性的。
性质：
1.若(fleft ( x ight ))和(gleft ( x ight ))均为积性函数，则下列函数
也为积性函数：
[hleft ( x ight )=fleft ( x^{p} ight )]
[hleft ( x ight )=f^{p}left ( x ight )]
[hleft ( x ight )=fleft ( x ight )gleft ( x ight )]
[ hleft ( x ight )=sum_{d|x}fleft ( d ight )gleft ( frac{x}{d} ight )left ( d|x表示frac{x}{d}==0 ight )]
2.若(f)是积性函数，且(n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}...p_{s}^{a_{s}})是n的标准分解，则有[fleft ( n ight )=fleft ( p_{1}^{a_{1}} ight )fleft ( p_{2}^{a_{2}} ight )fleft ( p_{3}^{a_{3}} ight )...fleft ( p_{s}^{a_{s}} ight )]
因此研究积性函数(f)可以转化为研究(fleft ( p^{a} ight ))，即(f)在素数和素数的幂上取值。
例子说明：
1.单位函数：(epsilon left ( n ight )=left [ n=1 ight ]left ( left [ condition ight ]表示当condition为真时取值为1，否则为0的函数 ight ))
即：(epsilon left ( n ight )=1当n=1;epsilon left ( n ight )=0当n=0)
2.常数函数：(1left ( n ight )=1)
3.恒等函数：(id_{k}left ( n ight )=n^{k}id_{1}left ( n ight )left ( id_{k}表示一个集合k上的恒等函数 ight ))
平常表示也就是(fleft ( x ight )=x)
4.除数函数：(sigma _{k}left ( n ight ))用来表示(n)的因子的(k)次方之和
(sigma _{k}left ( n ight )=sum_{d|n}d^{k})
约数个数(sigma _{0}left ( n ight ))常记为(dleft ( n ight ))，约数和(sigma _{1}left ( n ight ))常记为(sigmaleft ( n ight ))
5.欧拉函数
6.莫比乌斯函数