1. 常见的傅里叶变换对
1.1. 矩形脉冲相关
矩形脉冲信号
[G_ au(t) leftrightarrow au mathrm{Sa} (frac{ au}{2} w)
]
采样信号
[mathrm{Sa}(w_c t) leftrightarrow frac{pi}{w_c} G_{2w_c}(w)
]
三角脉冲信号
[land_{2 au}(t) leftrightarrow au Sa^2(frac{ au w}{2})
]
【注意】
- (G_{ au}(t)) 和 (land_{2 au}(t)) 的下标表示的非0区间的长度；
- 三角脉冲信号与矩形脉冲信号的关系：(land_{2 au}(t) = frac{1}{ au} G_{ au}(t) * G_{ au}(t))
- 通过傅氏变换的 对称性 和 时域卷积定理 可以证明以上式子。
1.2. 阶跃信号相关
单位阶跃信号
[u(t) leftrightarrow frac{1}{jw} + pi delta(w)
]
单位斜坡信号
[tu(t) leftrightarrow jfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}w} left(frac{1}{jw} + pi delta(w)
ight) = -frac{1}{w^2} + jpi delta'(w)
]
【注意】
- 阶跃信号不满足绝对可积的条件，但是引入冲激函数后仍具有傅氏变换；
- (u(t)) 是一个积分器，即 (int_{-infty}^{t} f( au) d au = f(t) * u(t))；
1.3. 冲激信号相关
单位冲激信号
[delta(t) leftrightarrow 1\
delta(t-t_0) leftrightarrow e^{-jwt_0}\
]
冲激信号的 (k) 阶导数
[delta^{(k)}(n) leftrightarrow (jw)^k
]
当某个信号的傅氏变换存在 常数 或者 正幂次项 （可以带个相位），则表示该信号包含冲激或冲激导数的形式。
1.4. 直流信号
[1 leftrightarrow 2pi delta(w)\
t^n leftrightarrow 2 pi j^n delta^{(n)}(w)
]
当某个信号的傅氏变换包含 冲激 或其 冲激导数形式，表示给信号可能存在直流分量或者正幂次项。
1.5. 指数信号
（0 < a < 1）
单边指数信号
因果型：(e^{-at} u(t) leftrightarrow frac{1}{a+jw})
非因果型：(e^{at}u(-t) leftrightarrow frac{1}{a-jw})
双边指数信号
偶对称型：
[egin{aligned}
e^{-a|t|} &= e^{-at}u(t) + e^{at}u(-t)\
&leftrightarrow frac{2a}{a^2 + w^2}
end{aligned}
]
奇对称型：
[egin{aligned}
e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t) leftrightarrow frac{-2jw}{a^2 + w^2}
end{aligned}
]
指数调频信号
[e^{-at}sin(w_0 t)u(t) leftrightarrow frac{w_0}{(a + jw)^2 + w_0^2}\
e^{-at}cos(w_0 t)u(t) leftrightarrow frac{a + jw}{(a + jw)^2 + w_0^2}
]
频域微分特性
[frac{t^{n-1}}{(n - 1)!}e^{-at}u(t) leftrightarrow frac{1}{(a + jw)^n}
]
谐振信号
虚指数信号
[egin{aligned}
e^{jw_0t} &leftrightarrow 2pi delta(w - w_0)\
e^{-jw_0 t} &leftrightarrow 2pi delta(w + w_0)
end{aligned}
]
三角信号
[egin{aligned}
cos(w_0 t) &= frac{1}{2}(e^{jw_0 t} + e^{-jw_0 t})\
&leftrightarrow pi [delta(w - w_0) + delta(w + w_0)]\
sin(w_0 t) &= frac{1}{2j} (e^{jw_0t} - e^{-jw_0t})\
&leftrightarrow frac{pi}{j}[delta(jw - jw_0) - delta(jw + jw_0)]
end{aligned}
]
调频信号
[egin{aligned}
f(t)cos(w_0 t) &leftrightarrow frac{1}{2}[F(jw - jw_0) + F(jw + jw_0)]\
f(t)sin(w_0 t) &leftrightarrow frac{1}{2j}[F(jw - jw_0) - F(jw + jw_0)]
end{aligned}
]
1.6. 符号函数相关
[sgn(t) leftrightarrow frac{2}{jw}
]
对称性
[frac{1}{t} leftrightarrow jpi sgn(w)
]
时域微分特性
[frac{1}{t^2} leftrightarrow pi w sgn(w) = pi |w|
]