数位DP常见的模板:
int dfs(int i,int s,bool e) { if(i==-1) return s=target_s; if(!e&&~f[i][s]) return f[i][s]; int res=0; int u=e?digit[i]:9; for(int d=first?1:0;d<=u;d++) res+=dfs(i-1,new_s(e,d),e&&d==u) return e?res:f[i][s]=res; }
其中:
f为记忆化数组;
i为当前处理串的第i位(权重表示法,也即后面剩下i+1位待填数);
s为之前数字的状态(如果要求后面的数满足什么状态,也可以再记一个目标状态t之类,for的时候枚举下t);
e表示之前的数是否是上界的前缀(即后面的数能否任意填)。
for循环枚举数字时,要注意是否能枚举0,以及0对于状态的影响,有的题目前导0和中间的0是等价的,但有的不是,对于后者可以在dfs时再加一个状态变量z,表示前面是否全部是前导0,也可以看是否是首位,然后外面统计时候枚举一下位数。It depends.
于是关键就在怎么设计状态。当然做多了之后状态一眼就可以瞄出来
首先先来一个比较水的数位DP
链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3555
DP的状态是2维的dp[len][3]
dp[len][0] 代表长度为len不含49的方案数
dp[len][1] 代表长度为len不含49但是以9开头的数字的方案数
dp[len][2] 代表长度为len含有49的方案数
状态转移如下
dp[i][0] = dp[i-1][0] * 10 - dp[i-1][1]; // not include 49 如果不含49且,在前面可以填上0-9 但是要减去dp[i-1][1] 因为4会和9构成49
dp[i][1] = dp[i-1][0]; // not include 49 but starts with 9 这个直接在不含49的数上填个9就行了
dp[i][2] = dp[i-1][2] * 10 + dp[i-1][1]; // include 49 已经含有49的数可以填0-9,或者9开头的填4
接着就是从高位开始统计
在统计到某一位的时候,加上 dp[i-1][2] * digit[i] 是显然对的,因为这一位可以填 0 - (digit[i]-1)
若这一位之前挨着49,那么加上 dp[i-1][0] * digit[i] 也是显然对的。
若这一位之前没有挨着49,但是digit[i]比4大,那么当这一位填4的时候,就得加上dp[i-1][1]
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; long long dp[20][3]; int digit[20]; int main() { memset(dp,0,sizeof(dp)); dp[0][0]=1; for(int i=1;i<20;i++) { dp[i][0]=dp[i-1][0]*10-dp[i-1][1]; dp[i][1]=dp[i-1][0]; dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1]; } int t; cin>>t; while(t--) { int len=0,last=0; long long ans=0; unsigned long long n; n=0; cin>>n; n++; memset(digit,0,sizeof(digit)); while(n) { digit[++len]=n%10; n=n/10; } bool flag=false; for(int i=len;i>=1;i--) { ans+=dp[i-1][2]*digit[i]; if(flag) ans+=dp[i-1][0]*digit[i]; if(!flag&&digit[i]>4) ans+=dp[i-1][1]; if(last==4&&digit[i]==9) flag=true; last=digit[i]; } cout<<ans<<endl; } return 0; }
链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709
题解:http://blog.csdn.net/libin56842/article/details/10121027
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; __int64 dp[19][19][2005]; int digit[20]; __int64 dfs(int pos,int o,int l,int work) { if(pos==-1) return l==0; if(l<0) return 0; if(!work&&dp[pos][o][l]!=-1) return dp[pos][o][l]; __int64 ans=0; int endx=work?digit[pos]:9; for(int i=0;i<=endx;i++) { int next=l; next+=(pos-o)*i; ans+=dfs(pos-1,o,next,work&&i==endx); } if(!work) dp[pos][o][l]=ans; return ans; } __int64 solve(__int64 n) { int len=0; while(n) { digit[len++]=n%10; n/=10; } __int64 ans=0; for(int i=0;i<len;i++) ans+=dfs(len-1,i,0,1); return ans-(len-1); } int main() { int T; __int64 l,r; cin>>T; memset(dp,-1,sizeof(dp)); while(T--) { cin>>l>>r; cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl; } return 0; }