• 数位DP


    数位DP常见的模板:

    int dfs(int i,int s,bool e)
    {
        if(i==-1)   return s=target_s;
        if(!e&&~f[i][s])   return f[i][s];
        int res=0;
        int u=e?digit[i]:9;
        for(int d=first?1:0;d<=u;d++)
            res+=dfs(i-1,new_s(e,d),e&&d==u)
            return e?res:f[i][s]=res;
    }

    其中:

    f为记忆化数组;

    i为当前处理串的第i位(权重表示法,也即后面剩下i+1位待填数);

    s为之前数字的状态(如果要求后面的数满足什么状态,也可以再记一个目标状态t之类,for的时候枚举下t);

    e表示之前的数是否是上界的前缀(即后面的数能否任意填)。

    for循环枚举数字时,要注意是否能枚举0,以及0对于状态的影响,有的题目前导0和中间的0是等价的,但有的不是,对于后者可以在dfs时再加一个状态变量z,表示前面是否全部是前导0,也可以看是否是首位,然后外面统计时候枚举一下位数。It depends.

    于是关键就在怎么设计状态。当然做多了之后状态一眼就可以瞄出来


    首先先来一个比较水的数位DP

    链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3555

    DP的状态是2维的dp[len][3]
    dp[len][0] 代表长度为len不含49的方案数
    dp[len][1] 代表长度为len不含49但是以9开头的数字的方案数
    dp[len][2] 代表长度为len含有49的方案数

    状态转移如下
    dp[i][0] = dp[i-1][0] * 10 - dp[i-1][1];  // not include 49  如果不含49且,在前面可以填上0-9 但是要减去dp[i-1][1] 因为4会和9构成49
    dp[i][1] = dp[i-1][0];  // not include 49 but starts with 9  这个直接在不含49的数上填个9就行了
    dp[i][2] = dp[i-1][2] * 10 + dp[i-1][1]; // include 49  已经含有49的数可以填0-9,或者9开头的填4

    接着就是从高位开始统计

    在统计到某一位的时候,加上 dp[i-1][2] * digit[i] 是显然对的,因为这一位可以填 0 - (digit[i]-1)
    若这一位之前挨着49,那么加上 dp[i-1][0] * digit[i] 也是显然对的。
    若这一位之前没有挨着49,但是digit[i]比4大,那么当这一位填4的时候,就得加上dp[i-1][1]

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    long long dp[20][3];
    int digit[20];
    int main()
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<20;i++)
        {
            dp[i][0]=dp[i-1][0]*10-dp[i-1][1];
            dp[i][1]=dp[i-1][0];
            dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1];
        }
        int t;
        cin>>t;
        while(t--)
        {
            int len=0,last=0;
            long long ans=0;
            unsigned long long n;
            n=0;
            cin>>n;
            n++;
            memset(digit,0,sizeof(digit));
            while(n)
            {
                digit[++len]=n%10;
                n=n/10;
            }
            bool flag=false;
            for(int i=len;i>=1;i--)
            {
                ans+=dp[i-1][2]*digit[i];
                if(flag)
                    ans+=dp[i-1][0]*digit[i];
                if(!flag&&digit[i]>4)
                    ans+=dp[i-1][1];
                if(last==4&&digit[i]==9)
                    flag=true;
                last=digit[i];
            }
            cout<<ans<<endl;
        }
        return 0;
    }
    


    链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

    题解:http://blog.csdn.net/libin56842/article/details/10121027

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    __int64 dp[19][19][2005];
    int digit[20];
    __int64 dfs(int pos,int o,int l,int work)
    {
        if(pos==-1)
            return l==0;
        if(l<0)
            return 0;
        if(!work&&dp[pos][o][l]!=-1)
            return dp[pos][o][l];
        __int64 ans=0;
        int endx=work?digit[pos]:9;
        for(int i=0;i<=endx;i++)
        {
            int next=l;
            next+=(pos-o)*i;
            ans+=dfs(pos-1,o,next,work&&i==endx);
        }
        if(!work)
            dp[pos][o][l]=ans;
        return ans;
    }
    __int64 solve(__int64 n)
    {
        int len=0;
        while(n)
        {
            digit[len++]=n%10;
            n/=10;
        }
        __int64 ans=0;
        for(int i=0;i<len;i++)
            ans+=dfs(len-1,i,0,1);
        return ans-(len-1);
    }
    int main()
    {
        int T;
        __int64 l,r;
        cin>>T;
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        while(T--)
        {
            cin>>l>>r;
            cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl;
        }
        return 0;
    }
    





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