一、问题描述
了解最大团问题（Maximum Clique Problem, MCP）之前需要明白几个概念。复习一下图论知识......
完全图：如果无向图中的任何一对顶点之间都有一条边，这种无向图称为完全图。
完全子图：给定无向图G=(V,E)。如果U
V，且对任意u，vU 有(u，v) E，则称U 是G 的完全子图。
团（最大完全子图）: U是G的团当且仅当U不包含在G 的更大的完全子图中
最大团：G 的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
空子图：给定无向图G=(V,E)。如果UV，且对任意u，vU 有(u，v) ∉ E，则称U 是G 的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大空子图中。
独立集：对于给定无向图G=(V,E)。如果顶点集合V*V，若V*中任何两个顶点均不相邻，则称V*为G的点独立集，或简称独立集。
最大独立集：G中所含顶点数最多的独立集。
例如：
(a) (b) (c) (d)
图a是一个无向图，图b、c、d都是图a的团，且都是最大团。
补图：
图G的补图，通俗的来讲就是完全图Kn去除G的边集后得到的图Kn-G。在图论里面，一个图G的补图（complement）或者反面（inverse）是一个图有着跟G相同的点，而且这些点之间有边相连当且仅当在G里面他们没有边相连。
二、算法设计
大致思路：
首先设最大团为一个空团，往其中加入一个顶点，然后依次考虑每个顶点，查看该顶点加入团之后仍然构成一个团，如果可以，考虑将该顶点加入团或者舍弃两种情况，如果不行，直接舍弃，然后递归判断下一顶点。对于无连接或者直接舍弃两种情况，在递归前，可采用剪枝策略来避免无效搜索。
为了判断当前顶点加入团之后是否仍是一个团，只需要考虑该顶点和团中顶点是否都有连接。
程序中采用了一个比较简单的剪枝策略，即如果剩余未考虑的顶点数加上团中顶点数不大于当前解的顶点数，可停止继续深度搜索，否则继续深度递归。
三、实例分析
如图1所示，给定无向图G={V, E}，其中V ={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5), (2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。根据MCP定义，子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。{1,2,5}是G的一个最大团。{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。
图2是无向图G的补图G'。根据最大独立集定义，{2,4}是G的一个空子图，同时也是G的一个最大独立集。虽然{1,2}也是G'的空子图，但它不是G'的独立集，因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。{1,2,5}是G'的最大独立集。{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。
以图1为例，利用回溯法搜索其空间树，具体搜索过程（见图3所示）如下：假设我们按照1®2®3®4®5的顺序深度搜索。
开始时，根结点R是唯一活结点，也是当前扩展结点，位于第1层，此时当前团的顶点数cn=0，最大团的顶点数bestn=0。
在这个扩展结点处，我们假定R和第二层的顶点1之间有边相连，则沿纵深方向移至顶点1处。此时结点R和顶点1都是活结点，顶点1成为当前的扩展结点。此时当前团的顶点数cn=1，最大团的顶点数bestn=0。继续深度搜索至第3层顶点2处，此时顶点1和2有边相连，都是活结点，顶点2成为当前扩展结点。
此时当前团的顶点数cn=2，最大团的顶点数bestn=0。再深度搜索至第4层顶点3处，由于顶点3和2有边相连但与顶点1无边相连，则利用剪枝函数剪去该枝，此时由于cn+n-i=2+5-4=3>bestn=0，则回溯到结点2处进入右子树，开始搜索。此时当前团的顶点数cn=2，最大团的顶点数bestn=0。再深度搜索至第5层顶点4处，由于顶点3和4无边相连，剪去该枝，回溯到结点3处进入右子树，此时当前团的顶点数cn=2，最大团的顶点数bestn=0。
继续深度搜索至第6层顶点5处，由于顶点5和4有边相连，且与顶点1和2都有边相连，则进入左子树搜索。由于结点5是一个叶结点，故我们得到一个可行解，此时当前团的顶点数cn=3，最大团的顶点数bestn=3。vi的取值由顶点1至顶点5所唯一确定，即v=(1, 2, 5)。此时顶点5已不能再纵深扩展，成为死结点，我们返回到结点4处。由于此时cn+n-i=3+5-6=2<bestn=3，不能在右子树中找到更大的团，利用剪枝函数可将结点4的右结点剪去。以此回溯，直至根结点R再次成为当前的扩展结点，沿着右子树的纵深方向移动，直至遍历整个解空间。最后得到图1的按照1®2®3®4®5的顺序深度搜索的最大团为U={1,2,5}。当然{1,4,5}和{2,3,5}也是其最大团。
四、代码描述
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; const int maxnum=101; bool a[maxnum][maxnum];//图的邻接矩阵 bool x[maxnum]; //当前解 int cn;//当前团的顶点数 int bestn;//当前的最优解 int n;//图G的顶点数 int e;//图G的边数 void backtrack(int i) { int j; if(i>n) { bestn=cn; printf("%d ",bestn); for(j=1; j<=n; j++) { if(x[j]) { printf("%d ",j); } } printf(" "); return ; } bool ok=true; for(j=1; j<i; j++) { if(x[j]&&!a[j][i])//i与j不相连 { ok=false; break; } } if(ok)//进入左子树 { cn++; x[i]=true; backtrack(i+1); cn--; } if(cn+n-i>bestn) //剪枝 { x[i]=false; backtrack(i+1); } } int main() { int i,u,v; memset(a,false,sizeof(a)); memset(x,false,sizeof(x)); scanf("%d%d",&n,&e); for(i=0; i<e; i++) { scanf("%d%d",&u,&v); a[u][v]=true; a[v][u]=true; } cn=bestn=0; backtrack(1); return 0; } /* 5 7 1 2 1 4 1 5 2 5 2 3 3 5 4 5 */