求解素数

编程珠玑2-性能监视工具 这个章节主要介绍利用性能监测工具来加速计算素数的程序，因为平时用java，因此调研了下java的性能监测工具，了解了下JFR，jmc自带JFR，安装jmc6.0试用了下，jmc6.0和之前的版本有些区别，可以参考https://stackoverflow.com/questions/50800070/java-mission-control-jmc-6-0-does-not-show-hot-methods-when-examining-a-jfr-fl ，不过JFR只能监测到方法级别，本篇暂且先关注求素数这个算法。
程序p1-p5的优化过程书中已经介绍的很清楚了，这里直接写出java版本的p6的程序如下：

    /**
     * 功能：普通方法找出小于n的素数
     * */
    private static int[] findPrimeNumbersBruteForce(int n) {
        int count = 0;
        //已经找到的素数集合
        int[] primeNumbers = new int[n];
        int pos = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            boolean isPrime = true;
            for (int j=0; j < pos && (long)(primeNumbers[j] * primeNumbers[j]) <= i; j++) {
                //count ++;
                //System.out.println("i  : " + i + ", primeNumbers[j] : " + primeNumbers[j]);
                if (i % primeNumbers[j] == 0) {
                    isPrime = false;
                    break;
                }
            }
            if (isPrime) {
                primeNumbers[pos++] = i;
            }
        }
        //System.out.println("findPrimeNumbersBruteForce count : " + count);
        return primeNumbers;
    }

习题2中提出问题：你能进一步提高写出比性能吗？根据提示，了解埃氏筛法（Sieve of Eratosthenes）。
埃氏筛法是一种由古希腊数学家埃拉托斯特尼（公元前250年）提出的一种简单检定素数的算法。算法思想是从1~n中依次删除2的倍数，3的倍数，.......，从而得到所有的素数。java代码实现如下所示：

    /**
     * 功能：一般埃氏筛法，找出小于等于n的素数
     * */
    private static int[] findPrimeNumbersSieve(int n) {

        boolean[] mark = new boolean[n+1];
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            mark[i] = true;
        }

        int i, count = 0;
        int[] primeNumbers = new int[n];
        for (i = 2; i * i <= n; i++) {    //这层可以看作是素数的迭代，因此 i * i <= n                 
            if (mark[i]) {
                primeNumbers[count++] = i;
                for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                    mark[j] = false;
                }
            }
        }

        for (; i <= n; i++) {
            if (mark[i]) {
                primeNumbers[count++] = i;
            }
        }
        return primeNumbers;
    }

埃氏筛法复杂度为O(nlnlnn)（证明过程可从文末参考资料中了解），因此埃氏筛法并不是线性筛法。一个合数会被标记多次，比如30，会被素数2，3，5各标记一次，如果一个合数质因子很多，那么会被标记很多次。对埃氏筛法进行改进，称为线性筛法（也有叫欧拉筛法），java代码实现如下：

/**
     * 功能：线性筛法，找出小于等于n的素数
     * */
    private static int[] findPrimeNumbersLinearSieve( int n ) {
        int count = 0;
        boolean[] mark = new boolean[n+1];
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            mark[i] = true;
        }

        int[] primeNumbers = new int[n];
        int pos = 0;
        for (int i = 2 ; i <= n ; i++) { //这层是1...n的迭代
            if (mark[ i ] )
                primeNumbers[pos++] = i;
            for(int j = 0 ; j < pos && i * primeNumbers[j] <= n; j++){
                mark[ i * primeNumbers[j]] = false;
                //count++;
                //System.out.println("i  : " + i + ", primeNumbers[j] : " + primeNumbers[j]);
                if( i % primeNumbers[j] == 0 )          //保证了一个合数只被最小的素因子标记
                    break;
            }
        }
        //System.out.println("findPrimeNumbersLinearSieve count : " + count);
        return primeNumbers;
    }

线性筛法的复杂度为O(n)，线性筛法解决了一个合数被标记多次的问题，思路是一个合数只由最小素因子标记，重点在if( i % primeNumbers[j] == 0 ) break; 这行代码上:
primeNumbers中的素数是自增的,
如果i % primeNumbers[j] == 0，即i = k * primeNumbers[j]，那么假设 x= i * primeNumbers[j+1] = k * primeNumbers[j] * primeNumbers[j+1] = k' * primeNumbers[j]，因此 x的最小素因子是primeNumbers[j]， 而不是primeNumbers[j+1]，接下来的素数同理，所以x不用质数primeNumbers[j+1]标记。

有没有觉得和普通筛法（findPrimeNumbersBruteForce(int n)）很像？？？但性能却相差很大，本机测试当n=100000000时，findPrimeNumbersBruteForce(int n)耗时20s+，而线筛的只用1s左右。

数学小知识复习
调和级数：调和级数是各项倒数为等差数列的级数，通常指：
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +...
而 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +... = ln(n) + C, C为欧拉常数数值是0.5772……

为什么1不是素数？
根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个素数，要么可以写成唯一一组素数的乘积，最小的素数是2。如果1是素数，那么这一系列素数就不唯一了，会造成很多麻烦。

参考文章：
http://www.cnblogs.com/dc93/p/3930362.html, https://blog.csdn.net/OIljt12138/article/details/53861367，
http://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3233011.html
Mertens' 2nd theorem