[HAOI2008]硬币购物

1042: [HAOI2008]硬币购物

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题目描述

　　硬币购物一共有4种硬币。面值分别为c1,c2,c3,c4。某人去商店买东西，去了tot次。每次带di枚ci硬币，买s
i的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

输入

　　第一行 c1,c2,c3,c4,tot 下面tot行 d1,d2,d3,d4,s,其中di,s<=100000,tot<=1000

输出

　　每次的方法数

样例输入

1 2 5 10 2
3 2 3 1 10
1000 2 2 2 900

样例输出

4
27

题解：

　　这个题是dp + 容斥。

　　首先可以预处理dp[i]表示在四种硬币没有限制的情况下买i的东西有几种付款方式。

　　然后就可以容斥了：

　　根据容斥原理，答案为 得到面值S的超过限制的方案数 – 第1种硬币超过限制的方案数 – 第2种硬币超过限制的方案数 – 第3种硬币超过限制的方案数 – 第4种硬币超过限制的方案数 + 第1,2种硬币同时超过限制的方案数 + 第1,3种硬币同时超过限制的方案数 + …… + 第1,2,3,4种硬币全部同时超过限制的方案数。

　　讲解一下上边公式的来历, 这题所要求的数值为4种硬币在有限个情况下的方案数， 在dp数组中， 我们求得的数值为4种硬币在无限个情况下的方案数。

　　则 有限个的方案数(即所求) = 无限个的方案数 - 超过有限个的方案数。

　　利用容斥原理求出超过有限个的方案数。

　　一种硬币时的求法：固定取w[i] + 1个， 剩下的随便取就好。

#include <iostream>
#define MAX 100001
#define ll long long

using namespace std;

int c[5], w[5];
ll dp[MAX], ans;

void DFS(int x, int k, int sum)
{
    if(sum < 0) return;
    if(x == 5)
    {
        if(k & 1) ans = ans - dp[sum];
        else ans = ans + dp[sum];
        return;
    }
    DFS(x + 1, k + 1, sum - (w[x] + 1) * c[x]);
    DFS(x + 1, k, sum);
}

int main()
{
    int tot, s;
    for(int i = 1; i <= 4; ++i) 
        cin >> c[i];
    cin >> tot;
    dp[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 4; ++i)
        for(int j = c[i]; j < MAX; ++j)
            dp[j] = dp[j] + dp[j - c[i]];
    for(int i = 1; i <= tot; ++i)
    {
        for(int ii = 1; ii <= 4; ++ii)
            cin >> w[ii];
        cin >> s;
        ans = 0;
        DFS(1, 0, s);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}