【题解】JXOI2018游戏(组合数)
题目大意
对于([l,r])中的数，你有一种操作，就是删除一个数及其所有倍数。问你删除所有数的所有方案的步数之和。 由于这里是简化题意，有一个东西没有提到: 你可以“删除”已经被删除的点。而且即使你已经删掉了所有的数，若你仍然要继续操作直到做了(r-l+1)次不同的删除动作。这将计入方案。
可能还是没有讲清楚，可以去康康原题...
实际上我想写一下题解是因为一个思想的方法...
考虑将([l,r])每一个数向他的倍数连边。这可以形成一个拓扑图。删除一个点(x)的效果就是将拓扑图中所有能被(x)到达的点删掉。那么删除整张图的充分必要条件是所有入度数为(0)的点被删除掉。那么考虑那些入度为(0)的数是哪些。一些数被连边是由于在区间中存在他的因数，所以一个数没有被进入是因为他的最大约数小于边界(l)。考虑如何筛选出最大约数小于某个值的数，可以让这个数除去他的最小因子——最小因子=最小的质因子。所以可以直接线性筛所有数的最小质因子即可。
其实上面这段话可以用三个显然概括掉，但是我想记录一下这个思路，所以写得很啰嗦清晰。
考虑一个删数的方案其实是一个排列。记(n=r-l+1,m=)入度等于0的点个数。
枚举删除需要(i)步，也就说(m)个数字要在第(i)位正好全部出现。那么对于前面(i ge m)个位置，先钦定一个放在第(i)位也就是(m choose 1)，然后剩下的随便排列就是((m-1)!)但是有一些缺的位置那么从后面选点过来填上就是(A_{n-m}^{i-m}) 然后剩下的数随便排列也就是((n-i)!)。
最终答案：
[sum_{mle ile n} i{mchoose 1}(m-1)!{n-mchoose i-m}(i-m)!(n-i)!
]
//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std; typedef long long ll;
inline int qr(){
register int ret=0,f=0;
register char c=getchar();
while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
return f?-ret:ret;
}
const int maxn=1e7+5;
const int mod=1e9+7;
int usd[maxn],Min[maxn];
int jc[maxn],inv[maxn];
vector<int> ve;
inline int ksm(const int&base,const int&p){
int ret=1;
for(int t=p,b=base%mod;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)
if(t&1) ret=1ll*ret*b%mod;
return ret;
}
inline void pre(const int&n){
jc[0]=inv[0]=1;
for(register int t=1;t<=n;++t) jc[t]=1ll*jc[t-1]*t%mod;
inv[n]=ksm(jc[n],mod-2);
for(register int t=n-1;t;--t) inv[t]=1ll*inv[t+1]*(t+1)%mod;
Min[1]=10; usd[1]=1;
for(register int t=2;t<=n;++t){
if(!usd[t]) ve.push_back(t),Min[t]=t;
for(register auto i:ve){
if(1ll*i*t>n) break;
usd[i*t]=1;
Min[i*t]=min(Min[t],i);
if(t%i==0) break;
}
}
}
inline int c(const int&n,const int&m){
if(n<m)return 0;
return 1ll*jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int l,r,m,n;
int main(){
l=qr(); r=qr();
n=r-l+1;
pre(r+3);
for(register int t=l;t<=r;++t) if(t<1ll*l*Min[t]) ++m;
int ans=0;
for(register int t=m,ret;t<=n;++t){
ret=1ll*t%mod*m%mod*c(n-m,t-m)%mod*jc[t-1]%mod*jc[n-t]%mod;
ans=(ans+ret)%mod;
}
printf("%d
",ans);
return 0;
}