【题解】Counting D-sets(容斥+欧拉定理)
没时间写先咕咕咕。
就是容斥,只是难了一二三四五(dots inf)点
题目大意:
给定你一个(n)维空间,问你这个空间内有多少个点集满足两点间最大的切比雪夫距离为(d)。两个点集不同,当且仅当两个点集无法通过平移而想等。
转化1
考虑最后那个限制,平移想等的限制,受这道题的启发【题解】At2370 Piling Up,我们考虑钦定每一维的(0)点都有点坐落,这样就钦定了一个基准,问题就转变成了要求每维都有(0),且存在某个点的某维坐标为(d),且(d)是所有数里最大的。
转化2
此类题有一个套路,就是当它钦定最大最小为(d)的时候的方案数,可以等于([0,d])的随机分配(-[0,d-1])的随机分配,这样减出来的方案就保证了一定有点在(d)空间的边界上,不然一定会被减去。
转化3
所以我们答案就是(f(d)-f(d-1)),其中(f(d))表示(n)维空间的每维在([0,d])中随意分配坐标的方案数。此时我们发现仍然有问题,因为我们还没有钦定每一维有(0)。
考虑我们如何钦定每一维都有零,显然不能一个组合数直接钦定,因为可能一个点的坐标有多个(0),这个情况我们考虑不到。但是可以发现每一维本质相同的(意思是可以通过组合数来计算方案),所以可以(O(n))容斥。考虑我们容斥什么,我们容斥钦定每至少i维没有(0),最后我们要的是(0)维没有(0)。
转换4
我们看一个点的坐标,写成这个形式(p(x_1,x_2,x_3,x_4dots x_n),x_iin [0,d],x_i in N^+),那么由(p)构成的点集的方案是多少呢,我想啊想想不出来就去看题解去了。题解告诉我,这个的方案数是
傻逼了。其实很简单,总共有((d+1)^n)个点,枚举每个点放不放即可,注意包括了一个也不放的方案。
那么如何钦定至少(i)没有(0)呢?很简单,钦定(x_iin[1,d])就好了。那么这个的方案就是
乘上一个组合数枚举哪些维度没有(0)。
所以最终(f(x)=)
所以最终答案(=f(d)-f(d-1))
转换5
看答案那个式子,你发现你要到指数上面取膜,你很害怕,因为你好像不知道指数上取膜的运算规则。这就(naive)了,模数是(1e9+7)是个质数,现在你发现欧拉定理有用了,因为
而质数中,(phi(p)=p-1)。所以你在指数上就直接对(1e9+6)取膜就好了。
//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std; typedef long long ll;
inline int qr(){
register int ret=0,f=0;
register char c=getchar();
while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
return f?-ret:ret;
}
const int mod=1e9+7;
inline int Pow(int base,const int&p){
register int ret=1;
for(register int t=p;t;t>>=1,base=1ll*base*base%mod)
if(t&1) ret=1ll*ret*base%mod;
return ret;
}
const int mod2=mod-1;
inline int zhiPow(int base,const int&p){
register int ret=1;
for(register int t=p;t;t>>=1,base=1ll*base*base%mod2)
if(t&1) ret=1ll*ret*base%mod2;
return ret;
}
const int maxn=1e3+5;
int jc[maxn],inv[maxn];
int n,d;
inline int c(const int&n,const int&m){
if(n<m)return 0;
return 1ll*jc[n]*inv[m]%mod*1ll*inv[n-m]%mod;
}
inline int F(const int&x){
register int ret=0;
for(register int t=0,delta;t<=n;++t){
delta=1ll*c(n,t)*Pow(2,(1ll*zhiPow(x,t)*zhiPow(x+1,n-t))%mod2)%mod;
if(t&1) delta=mod-delta;
ret=(ret+delta)%mod;
}
return ret;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.in","r",stdin);
//freopen("out.out","w",stdout);
#endif
int T=qr();
jc[0]=inv[0]=1;
for(register int t=1;t<maxn;++t)
jc[t]=1ll*jc[t-1]*t%mod,inv[t]=Pow(jc[t],mod-2);
while(T--){
n=qr(),d=qr();
cout<<((F(d)-F(d-1))%mod+mod)%mod<<endl;
}
return 0;
}
Status | Accepted |
---|---|
Memory | 15257kB |
Length | 1546 |
Lang | C++14(gcc 6.3) |
Submitted | 2019-06-13 17:44:16 |
Shared | Yes |
RemoteRunId | 24729181 |