题目：
假定元素的值不同，说明如何才能使快速排序在最坏情况下以O(nlgn)时间运行
思考：
要改善最坏情况的下运行时间，就要从划分入手，保证即使是最坏情况，也要尽量均衡地划分。
因此，使用SELECT找到中值，再以这个中值为主元进行划分
代码：
1.以RANDOMIZED-SELECT作为选择中值的算法
1 //9.3-3-使用RANDOMIZED-SELECT作为选择中值算法 2 #include <iostream> 3 using namespace std; 4 5 //已经出现很多次了，不解释 6 int Partition(int *A, int p, int r) 7 { 8 int x = A[r], i = p-1, j; 9 for(j = p; j < r; j++) 10 { 11 if(A[j] <= x) 12 { 13 i++; 14 swap(A[i], A[j]); 15 } 16 } 17 swap(A[i+1], A[r]); 18 return i+1; 19 } 20 //以f为主元的划分 21 int Partition2(int *A, int p, int r, int f) 22 { 23 int i; 24 //找到f的位置并让它与A[r]交换 25 for(i = p; i < r; i++) 26 { 27 if(A[i] == f) 28 { 29 swap(A[i], A[r]); 30 break; 31 } 32 } 33 return Partition(A, p, r); 34 } 35 int Randomized_Partition(int *A, int p, int r) 36 { 37 //随机选择数组中一个数作为主元 38 int i = rand() % (r-p+1) + p; 39 swap(A[r], A[i]); 40 //划分 41 return Partition(A, p, r); 42 } 43 //i是从1开会计数的，不是从p开始 44 int Randomized_Select(int *A, int p, int r, int i) 45 { 46 if(p == r) 47 return A[p]; 48 //以某个元素为主元，把数组分为两组，A[p..q] <= 主元 < A[q+1..r]，返回主元在整个数组中的位置 49 int q = Randomized_Partition(A, p, r); 50 //主元是整个数组中的第q个元素，是A[p..r]数组中的第k个元素 51 int k = q - p + 1; 52 if(i == k) 53 return A[q]; 54 else if(i < k)//所求元素<=主元，则在A[p..q-1]中继续寻找 55 return Randomized_Select(A, p, q-1, i); 56 else//所求元素>主元，则在A[q+1..r]中继续寻找 57 return Randomized_Select(A, q+1, r, i-k); 58 } 59 60 void QuickSort(int *A, int p, int r) 61 { 62 if(p >= r) 63 return ; 64 //用RANDOMIZED-SELECT作为选择中值的算法选择中值 65 int i = (r - p + 1) / 2; 66 int x = Randomized_Select(A, p, r, i); 67 //以这个中值为主元进行划分 68 int q = Partition2(A, p, r, x); 69 //分别对划分后的前后两个部分进行排序 70 QuickSort(A, p, q-1); 71 QuickSort(A, q+1, r); 72 } 73 int main() 74 { 75 int length_A, i; 76 cin>>length_A; 77 //生成随机数据 78 int *A = new int[length_A+1]; 79 for(i = 1; i <= length_A; i++) 80 A[i] = rand() % 100; 81 for(i = 1; i <= length_A; i++) 82 cout<<A[i]<<' '; 83 cout<<endl; 84 //排序 85 QuickSort(A, 1, length_A); 86 //输出结果 87 for(i = 1; i <= length_A; i++) 88 cout<<A[i]<<' '; 89 cout<<endl; 90 delete []A; 91 return 0; 92 }
运行结果：
2.以最坏情况下线性时间作为选择中值的算法
1 //9.3-3使用最坏情况线性时间算法作为选择中值算法 2 #include <iostream> 3 using namespace std; 4 5 //已经出现很多次了，不解释 6 int Partition(int *A, int p, int r) 7 { 8 int x = A[r], i = p-1, j; 9 for(j = p; j < r; j++) 10 { 11 if(A[j] <= x) 12 { 13 i++; 14 swap(A[i], A[j]); 15 } 16 } 17 swap(A[i+1], A[r]); 18 return i+1; 19 } 20 int Select(int *A, int p, int r, int i); 21 //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值 22 //插入排序很简单，不解释 23 int Insert(int *A, int start, int end, int k) 24 { 25 int i, j; 26 for(i = 2; i <= end; i++) 27 { 28 int t = A[i]; 29 for(j = i; j >= start; j--) 30 { 31 if(j == start) 32 A[j] = t; 33 else if(A[j-1] > t) 34 A[j] = A[j-1]; 35 else 36 { 37 A[j] = t; 38 break; 39 } 40 } 41 } 42 return A[start+k-1]; 43 } 44 //根据文中的算法，找到中值的中值 45 int Find(int *A, int p, int r) 46 { 47 int i, j = 0; 48 int start, end, len = r - p + 1; 49 int *B = new int[len/5+1]; 50 //每5个元素一组，长度为start到end，对每一组进行插入排序，并返回中值 51 for(i = 1; i <= len; i++) 52 { 53 if(i % 5 == 1) 54 start = i+p-1; 55 if(i % 5 == 0 || i == len) 56 { 57 j++; 58 end = i+p-1; 59 //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值,如果是最后一组，组中元素个数可能少于5 60 int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1); 61 //把每一组的中值挑出来形成一个新的数组 62 B[j] = ret; 63 } 64 } 65 //对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值 66 int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2); 67 //delete []B; 68 return ret; 69 } 70 //以f为主元的划分 71 int Partition2(int *A, int p, int r, int f) 72 { 73 int i; 74 //找到f的位置并让它与A[r]交换 75 for(i = p; i < r; i++) 76 { 77 if(A[i] == f) 78 { 79 swap(A[i], A[r]); 80 break; 81 } 82 } 83 return Partition(A, p, r); 84 } 85 //寻找数组A[p..r]中的第i大的元素，i是从1开始计数，不是从p开始 86 int Select(int *A, int p, int r, int i) 87 { 88 //如果数组中只有一个元素，则直接返回 89 if(p == r) 90 return A[p]; 91 //根据文中的算法，找到中值的中值 92 int f = Find(A, p, r); 93 //以这个中值为主元的划分，返回中值在整个数组A[1..len]的位置 94 //因为主元是数组中的某个元素，划分好是这样的，A[p..q-1] <= f < A[q+1..r] 95 int q = Partition2(A, p, r, f); 96 //转换为中值在在数组A[p..r]中的位置 97 int k = q - p + 1; 98 //与所寻找的元素相比较 99 if(i == k) 100 return A[q]; 101 else if(i < k) 102 return Select(A, p, q-1, i); 103 else 104 //如果主元是数组中的某个元素，后面一半要这样写 105 return Select(A, q+1, r, i-k); 106 //但是如果主元不是数组中的个某个元素，后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1) 107 } 108 109 void QuickSort(int *A, int p, int r) 110 { 111 if(p >= r) 112 return ; 113 //用RANDOMIZED-SELECT作为选择中值的算法选择中值 114 int i = (r - p + 1) / 2; 115 int x = Select(A, p, r, i); 116 //以这个中值为主元进行划分 117 int q = Partition2(A, p, r, x); 118 //分别对划分后的前后两个部分进行排序 119 QuickSort(A, p, q-1); 120 QuickSort(A, q+1, r); 121 } 122 123 int main() 124 { 125 int length_A, i; 126 cin>>length_A; 127 //生成随机数据 128 int *A = new int[length_A+1]; 129 for(i = 1; i <= length_A; i++) 130 A[i] = rand() % 100; 131 for(i = 1; i <= length_A; i++) 132 cout<<A[i]<<' '; 133 cout<<endl; 134 //排序 135 QuickSort(A, 1, length_A); 136 //输出结果 137 for(i = 1; i <= length_A; i++) 138 cout<<A[i]<<' '; 139 cout<<endl; 140 delete []A; 141 return 0; 142 }
运行结果：