二分查找和斐波那契查找

二分查找

说明：查找的数组或列表必须是有序的，若无序，先进行排序

复杂度：时间复杂度 O(log2n)，空间复杂度O(n)

C++源码（递归和非递归两个版本）

#include <iostream>
using namespace std;

int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 };

int BinarySearch1(int l, int r, int value)
{
	int mid = (l + r) / 2;
	if (l == r && a[l] != value)
		return -1;
	if (a[mid] == value)
		return mid;
	if (a[mid] > value)
		return BinarySearch1(l, mid - 1, value);
	else
		return BinarySearch1(mid + 1, r, value);
	
}


int BinarySearch2(int value){
	int l = 0;
	int r = sizeof(a) / sizeof(a[0]) - 1;
	while (l <= r){
		int mid = (l + r) / 2;
		if (a[mid] == value)
			return (l + r) / 2;
		if (a[mid] > value)
			r = mid - 1;
		else
			l = mid + 1;
	}
	return -1;
}


int main(void)
{
	
	cout << "Binary Search (recursive) result: " << BinarySearch1(0, sizeof(a) / sizeof(a[0]) - 1, 5) << endl;;
	cout << "Binary Search (no recursive) result: " << BinarySearch2(4) << endl;
}

 

斐波那契查找

 在介绍斐波那契查找算法之前，我们先介绍一下很它紧密相连并且大家都熟知的一个概念——黄金分割。

　　黄金比例又称黄金分割，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1:0.618或1.618:1。

　　0.618被公认为最具有审美意义的比例数字，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。因此被称为黄金分割。

　　大家记不记得斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….（从第三个数开始，后边每一个数都是前两个数的和）。然后我们会发现，随着斐波那契数列的递增，前后两个数的比值会越来越接近0.618，利用这个特性，我们就可以将黄金比例运用到查找技术中。

　　基本思想：也是二分查找的一种提升算法，通过运用黄金比例的概念在数列中选择查找点进行查找，提高查找效率。同样地，斐波那契查找也属于一种有序查找算法。

　　相对于折半查找，一般将待比较的key值与第mid=（low+high）/2位置的元素比较，比较结果分三种情况：

　　1）相等，mid位置的元素即为所求

　　2）>，low=mid+1;

     3）<，high=mid-1。

　　斐波那契查找与折半查找很相似，他是根据斐波那契序列的特点对有序表进行分割的。他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，及n=F(k)-1;

 开始将k值与第F(k-1)位置的记录进行比较(及mid=low+F(k-1)-1),比较结果也分为三种

　　1）相等，mid位置的元素即为所求

　　2）>，low=mid+1,k-=2;

　　说明：low=mid+1说明待查找的元素在[mid+1,high]范围内，k-=2 说明范围[mid+1,high]内的元素个数为n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找。

　　3）<，high=mid-1,k-=1。

　　说明：low=mid+1说明待查找的元素在[low,mid-1]范围内，k-=1 说明范围[low,mid-1]内的元素个数为F(k-1)-1个，所以可以递归 的应用斐波那契查找。

　　复杂度分析：最坏情况下，时间复杂度为O(log₂n)，且其期望复杂度也为O(log₂n)。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAX_SIZE = 20;

int a[] = { 1, 5, 15, 22, 25, 31, 39, 42, 47, 49, 59, 68, 88 };

void Fibonacci(int F[])
{
	F[0] = 0;
	F[1] = 1;
	for (size_t i = 2; i < MAX_SIZE; i++)
		F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
	
}

int FibonacciSearch(int value)
{
	int F[MAX_SIZE];
	Fibonacci(F);
	int n = sizeof(a) / sizeof(int);

	int k = 0;
	while (n > F[k] - 1)
		k++;
	vector<int> temp;
	temp.assign(a, a + n);
	for (size_t i = n; i < F[k] - 1; i++)
		temp.push_back(a[n - 1]);

	int l = 0, r = n - 1;
	while (l <= r)
	{
		int mid = l + F[k - 1] - 1;
		if (temp[mid] < value){
			l = mid + 1;
			k = k - 2;
		}
		else if (temp[mid] > value){
			r = mid - 1;
			k = k - 1;
		}
		else{
			if (mid < n)
				return mid;
			else
				return n - 1;
		}
	}
	return -1;
}

int main()
{

	int index = FibonacciSearch(88);
	cout << index << endl;

}