每次到了晚上都无法静下心来写题目，不如写篇博客，总结一天的学习。
今天一天，首先回顾了昨晚Codeforces的几道题目。恕本蒟蒻太菜，实在无法写出来后面两道题目。
然后偶然发现很久之前的一道题目还没写，就顺手写了。然后便开始了今天的学习。
今天主要学习的问题是连通图的一些问题。
第一个问题就是强连通分量的求解。这一部分事实上我看了挺多的博客还有资料都没有看的太懂，最后跟着某篇博客里面的模板敲了一遍Tarjan算法。算是稍微懂了一些。
对于强连通分量的问题，本来我只能够用最暴力的方法写出来，是不是正确的还不好说，但是时间复杂度确实是相当的高的。而Tarjan算法，能够在O(V+E)的时间复杂度里面求解出强连通分量。不得不说真是非常神奇。
说起来强联通分量的问题也是深度优先搜索的一个应用吧。
设两个数组，dfn[i]和low[i]分别表示图的第i个点被访问的次序和第i个点能够回退到的最小的一个点。
关于这部分的解释这个博客说的的确还是很可以的。最起码我大概是理解了一些...
然后通过dfs搜索，就可以求出来强连通分量。
然后就是题目，今天做了两题关于强连通分量的题目，
一题是hdu 1269。
中文题直接上代码了。
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 10005;
const int maxm = 100005;
typedef struct node {
int to, nxt;
node(int a = 0, int b = 0) {
to = a; nxt = b;
}
}Edge;
stack<int> s; //存储已遍历的节点
Edge edge[maxm]; //链式前向星存储边的信息
int tot, head[maxn]; //链式前向星存储边的信息
int InComponet[maxn]; //记录每个点在哪个强联通分量中
vector<int> Componet[maxn]; //记录强联通分量结果
int n, m, index, ComponetNumber; //点的数量、边的数量、索引号、强联通分量数目
int dfn[maxn], low[maxn], inStack[maxn]; //深度优先搜索访问次序、能追溯到的最早的次序、检查是否在栈中（0代表不在，1代表访问过且不在栈中，2代表在栈中）
void add(int u, int v) {
edge[tot] = Edge(v, head[u]);
head[u] = tot++;
}
void init() {
tot = 0;
while (!s.empty()) s.pop();
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
memset(low, 0, sizeof(low));
memset(head, -1, sizeof(head));
for (int i = 0; i < maxn; ++i)
Componet[i].clear();
index = ComponetNumber = 0;
}
void tarjan(int u) {
s.push(u);
inStack[u] = 2;
low[u] = dfn[u] = ++index;
for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].to;
if (!dfn[v]) {
tarjan(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if(inStack[v] == 2) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (low[u] == dfn[u]) {
++ComponetNumber;
while (!s.empty()) {
int v = s.top(); s.pop();
inStack[v] = 1;
Componet[ComponetNumber].push_back(v);
InComponet[v] = ComponetNumber;
if (v == u) break;
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
int a, b;
while (cin >> n >> m) {
if (!n && !m) break; init();
for (int i = 0; i < m; ++i) {
cin >> a >> b;
add(a, b);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (!dfn[i]) tarjan(i);
}
if (ComponetNumber > 1) cout << "No" << endl;
else cout << "Yes" << endl;
}
return 0;
}模板题不多说了一题是poj 1236。
给出n个学校和一些学校之间的网络链接关系，学校之间的网络是单向边，让你求出两个问题的答案，1.至少需要多少份软件，使得所有学校都可以收到。2.如果希望用一份软件就能够使所有学校收到需要添加几条边。
代码：
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int maxm = maxn * maxn;
typedef struct node {
int to, nxt;
node(int a = 0, int b = 0) {
to = a; nxt = b;
}
}Edge;
stack<int> s; //存储已遍历的节点
Edge edge[maxm]; //链式前向星存储边的信息
int tot, head[maxn]; //链式前向星存储边的信息
int InComponet[maxn]; //记录每个点在哪个强联通分量中
int in[maxn], out[maxn]; //记录缩点后各个强连通分量的出度和入度
vector<int> Componet[maxn]; //记录强联通分量结果
int n, m, index, ComponetNumber; //点的数量、边的数量、索引号、强联通分量数目
int dfn[maxn], low[maxn], inStack[maxn]; //深度优先搜索访问次序、能追溯到的最早的次序、检查是否在栈中（0代表不在，1代表访问过且不在栈中，2代表在栈中）
void add(int u, int v) {
edge[tot] = Edge(v, head[u]);
head[u] = tot++;
}
void init() {
tot = 0;
while (!s.empty()) s.pop();
memset(in, 0, sizeof(in));
memset(out, 0, sizeof(out));
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
memset(low, 0, sizeof(low));
memset(head, -1, sizeof(head));
for (int i = 0; i < maxn; ++i)
Componet[i].clear();
index = ComponetNumber = 0;
}
void tarjan(int u) {
s.push(u);
inStack[u] = 2;
low[u] = dfn[u] = ++index;
for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].to;
if (!dfn[v]) {
tarjan(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if(inStack[v] == 2) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (low[u] == dfn[u]) {
++ComponetNumber;
while (!s.empty()) {
int v = s.top(); s.pop();
inStack[v] = 1;
Componet[ComponetNumber].push_back(v);
InComponet[v] = ComponetNumber;
if (v == u) break;
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
int a;
while (cin >> n) {
init();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
while (cin >> a && a) add(i, a);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (!dfn[i]) tarjan(i);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = head[i]; ~j; j = edge[j].nxt) {
int v = edge[j].to;
if (InComponet[i] != InComponet[v]) {
++in[InComponet[v]];
++out[InComponet[i]];
}
}
}
int mx1 = 0, mx2 = 0;
for (int i = 1; i <= ComponetNumber; ++i) {
if (!in[i]) ++mx1;
if (!out[i]) ++mx2;
}
if (ComponetNumber == 1) {
cout << "1
0
";
} else {
cout << mx1 << endl << max(mx1, mx2) << endl;
}
}
return 0;
}解题思路：首先求出这个图的强连通分量，并且缩点。缩点是说把一个强连通分量看成是一个点，然后不同的强连通分量构成了一幅图。对于构成的图，求出每个强连通分量的入度和出度。第一问的解就是入度为0的点的个数，第二问的解就是入度为0的点的个数和出度为0的点的个数最大的值。
学习的第二个问题是关于割点的，给出一幅图，求出割点的个数。
算法大体上跟Tarjan算法差不多，还是一个dfn数组一个low数组。表示的信息也是差不多的。
但是想要找到割点，首先需要知道深度优先搜索生成树。（一脸懵逼
这部分嘛。推荐王桂平的《图论算法理论、实现及应用》里面的介绍。
在找到深度优先搜索生成树之后，只需要找到是生成树的根节点且孩子个数>=2的节点，或者不是生成树的根节点，但是删除这个节点之后，任意一个该节点的孩子节点无法到达该节点的祖先节点。
知道这个判定之后，就可以根据dfn数组和low数组求解了。
这个问题目前只做了一道题目。
UVA 315 Network
题目大意：就是求割点的个数。
代码：
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef struct node {
int v, nxt;
node(int a = 0, int b = 0) {
v = a; nxt = b;
}
}Edge;
const int maxn = 105;
const int maxm = 2 * maxn * maxn;
int inx;
Edge edge[maxm];
bool judge[maxn];
int tot, head[maxn];
int low[maxn], dfn[maxn];
void add(int u, int v) {
edge[tot] = Edge(v, head[u]);
head[u] = tot++;
edge[tot] = Edge(u, head[v]);
head[v] = tot++;
}
void init() {
tot = inx = 0;
memset(low, 0, sizeof(low));
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
memset(head, -1, sizeof(head));
memset(judge, false, sizeof(judge));
}
void tarjan(int x, int pre) {
int v, ret = 0;
dfn[x] = low[x] = ++inx;
for (int i = head[x]; ~i; i = edge[i].nxt) {
v = edge[i].v;
if (v == pre) continue;
if (!dfn[v]) {
++ret;
tarjan(v, x);
low[x] = min(low[x], low[v]);
if (x != pre && low[v] >= dfn[x]) judge[x] = true;
} else if (low[x] > dfn[v]) {
low[x] = dfn[v];
}
}
if (x == pre && ret > 1) judge[x] = true;
}
int main() {
char op;
int a, b, n;
while (~scanf("%d", &n) && n) {
init();
while (~scanf("%d", &a) && a) {
while (~scanf("%d%c", &b, &op)) {
add(a, b);
if (op == '
') break;
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (!dfn[i]) tarjan(i, i);
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (judge[i]) ++ans;
}
cout << ans << "
";
}
return 0;
}解题思路：就是求割点的模板题目，直接套模板就好。
另外还有一个求无向图的割边问题，但是因为到了晚上，没有去学习，所以今天就不再说了。明天学习之后再加上。