并查集

其实并查集顾名思义就是有“合并集合”和“查找集合”两种操作的关于数据结构的一种算法。

概述

性质

并查集算法不支持分割一个集合。

算法

用集合中的某个元素来代表这个集合，该元素称为集合的代表元。
一个集合内的所有元素组织成以代表元为根的树形结构。
对于每一个元素 parent[x]指向x在树形结构上的父亲节点。如果x是根节点，则令parent[x] = x。
对于查找操作，假设需要确定x所在的的集合，也就是确定集合的代表元。可以沿着parent[x]不断在树形结构中向上移动，直到到达根节点。

判断两个元素是否属于同一集合，只需要看他们的代表元是否相同即可。

 

路径压缩

为了加快查找速度，查找时将x到根节点路径上的所有点的parent设为根节点，该优化方法称为压缩路径。

使用该优化后，平均复杂度可视为Ackerman函数的反函数，实际应用中可粗略认为其是一个常数。

用途

1、维护无向图的连通性。支持判断两个点是否在同一连通块内，和判断增加一条边是否会产生环。
2、用在求解最小生成树的Kruskal算法里。

reference

《ACM国际大学生程序设计竞赛 知识与入门 俞勇主编》

三个操作

一般来说，一个并查集一三个操作。

初始化

包括对所有单个的数据建立一个单独的集合（即根据题目的意思自己建立的最多可能有的集合，为下面的合并查找操作提供操作对象）
在每一个单个的集合里面，有三个东西。
1，集合所代表的数据。（这个初始值根据需要自己定义，不固定）
2，这个集合的层次通常用rank表示（一般来说，初始化的工作之一就是将每一个集合里的rank置为0）。
3，这个集合的类别father（有的人也喜欢用parent,set表示）（其实就是一个指针，用来指示这个集合属于那一类，合并过后的集合，他们的father指向的最终值一定是相同的。）
（有的简单题里面集合的数据就是这个集合的标号，也就是说只包含2和3，1省略了）。
初始化的时候，一个集合的parent都是这个集合自己的标号。没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己了。
（最简单的集合就只含有这三个东西了，当然，复杂的集合就是把3指针这一项添加内容，如PKU食物链那题，我们还可以添加enemy指针，表示这个物种集合的天敌集合；food指针，表示这个物种集合的食物集合。随着指针的增加，并查集操作起来也变得复杂，题目也就显得更难了）

结构体表示法

有的人是建立一个结构体把集合表示出来，如：

#define MAX 10000
struct Node
{
    int data;
    int rank;//这是维护的一些信息，如果单纯判断联通情况，用数组就可以了
    int father;
 }node[MAX];

　　

数组表示法

有的人则是弄很多相同大小的数组，如：

（就不给出附加维护信息的版本啦）

int father[max];//集合index的类别，或者用parent,set表示
int ???[]//维护的信息

//初始化集合
void init()
{
    //初始化的时候，一个集合的parent都是这个集合自己的标号。没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己了。
    for(int i=1;i<=n;i++)
    father[i]=i;
}

一般来说，题目简单用数组，题目复杂用结构体，因为结构体有条理，数组可以少打几个字。    

查找函数

就是找到father指针的源头，可以把函数命名为find（或者get，这个随你喜欢，以便于理解为主）
如果集合的father等于集合的编号（即还没有被合并或者没有同类），那么自然返回自身编号。
如果不同（即经过合并操作后指针指向了源头（合并后选出的rank高的集合））那么就可以调用递归函数，如下面的代码：

/**
*查找集合i（一个元素是一个集合）的源头（递归实现）。
 如果集合i的父亲是自己，说明自己就是源头，返回自己的标号；
 否则查找集合i的父亲的源头。
**/
int find(int x)
{
    if(node[x].parent==x)
        return x;
    return find(node[x].father);
}

　　

数组的话就是：

//查找集合i（一个元素是一个集合）的源头（递归实现）
int find(int x)
{ 
    //如果集合i的父亲是自己，说明自己就是源头，返回自己的标号
   if(father[x]==x)
       return father[x];
    //否则查找集合i的父亲的源头
    return  find(father[x]);        
}

　　

合并集合函数

这就是所谓并查集的并了。至于怎么知道两个集合是可以合并的，那就是题目的条件了。
先看代码：

void merge(int a,int b)
{
    int f1=find(a);
    int f2=find(b);
    if(node[f1].rank>node[f2].rank)
        node[f2].father=f1;
    else
    {    
        node[f1].father=f2;
        if(node[f1].rank==node[f2].rank)
            node[f2].rank++;
    }
}

　　

再给出数组显示的合并函数：

void merge(int a,int b)
{
    f1=find(a);
    f2=find(b);
    if(f1!=f2) 
    father[f1]=f2;
}