COGS2287 [HZOI 2015]疯狂的机器人

【题目描述】

现在在二维平面内原点上有一只机器人

他每次操作可以选择向右走，向左走，向下走，向上走和不走(每次如果走只能走一格）

但是由于本蒟蒻施展的大魔法，机器人不能走到横坐标是负数或者纵坐标是负数的点上

否则他就会big bang

给定操作次数n，求有多少种不同的操作序列使得机器人在操作后会回到原点

输出答案模998244353后的结果

注意如果两个操作序列存在某一时刻操作不同，则我们认为这两个操作序列不同

【输入格式】

输入n，表示操作次数

n<=100000

【输出格式】

按要求输出答案

【样例输入】

3

【样例输出】

7

【提示】

样例解释：

机器人有7种操作序列

1、不走 不走 不走

2、不走 向右 向左

3、向右 不走 向左

4、向右 向左 不走

5、不走 向上 向下

6、向上 不走 向下

7、向上 向下 不走

正解：组合数学+$NTT$。

学习卡特兰数以后做这题好像不难？

我们把操作分为$3$类，向右和向左为一类，向上和向下为一类，不动为一类。

那么如果只考虑前两类中的任何一类，那就是卡特兰数，因为这就是要求有$n/2$个$+1$,$-1$，且所有前缀和都$>=0$的序列方案数。很显然，只有偶数能取前两种情况。

那么我们扩展一下，如果有前两种操作，该怎么做？

$f[n]$表示$n$步路回到原点的方案数，那么$f[n]=sum_{i=0}^{n}a[i]*a[n-i]*inom{n}{i}$。

$a[i]$表示前两类操作走$i$步的方案数，$a[i]=c[i/2]$，当且仅当$i$为偶数，$c$为卡特兰数。

也就是说，从第一类操作中选$i$步，第二类操作中选$n-i$步，最后再组合起来，就是这个方案。

上式我们已经可以用$NTT$优化，做到$O(nlogn)$的复杂度。

考虑第$3$中操作，其实很简单了。我们只要枚举前两个操作总共有多少步，再和第$3$个操作组合一下就行。

也就是$Ans=sum_{i=0}^{n}f[i]*inom{n}{i}$。

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define rhl (998244353)
#define N (500010)

using namespace std;

int inv[N],fac[N],ifac[N],a[N],c[N],rev[N],n,m,lg,ans;

il int qpow(RG int a,RG int b){
  RG int ans=1;
  while (b){
    if (b&1) ans=1LL*ans*a%rhl;
    a=1LL*a*a%rhl,b>>=1;
  }
  return ans;
}

il void pre(){
  fac[0]=ifac[0]=fac[1]=ifac[1]=inv[1]=1;
  for (RG int i=2;i<=(n<<1);++i){
    inv[i]=1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
    fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%rhl;
    ifac[i]=1LL*ifac[i-1]*inv[i]%rhl;
  }
  return;
}

il void NTT(int *a,RG int n,RG int f){
  for (RG int i=0;i<n;++i) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
  for (RG int i=1;i<n;i<<=1){
    RG int gn=qpow(3,(rhl-1)/(i<<1)),x,y;
    for (RG int j=0,g=1;j<n;j+=i<<1,g=1)
      for (RG int k=0;k<i;++k,g=1LL*g*gn%rhl){
    x=a[j+k],y=1LL*g*a[j+k+i]%rhl;
    a[j+k]=x+y; if (a[j+k]>=rhl) a[j+k]-=rhl;
    a[j+k+i]=x-y; if (a[j+k+i]<0) a[j+k+i]+=rhl;
      }
  }
  if (f==1) return; reverse(a+1,a+n); RG int inv=qpow(n,rhl-2);
  for (RG int i=0;i<n;++i) a[i]=1LL*a[i]*inv%rhl;
  return;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("robot.in","r",stdin);
  freopen("robot.out","w",stdout);
#endif
  cin>>n; pre();
  for (RG int i=1;i<=n;++i)
    c[i]=1LL*fac[i<<1]*ifac[i]%rhl*ifac[i]%rhl*inv[i+1]%rhl;
  for (m=1;m<=(n<<1);m<<=1) ++lg; a[0]=1;
  for (RG int i=1;i<=n;++i) if (!(i&1)) a[i]=1LL*c[i>>1]*ifac[i]%rhl;
  for (RG int i=0;i<m;++i) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(lg-1));
  NTT(a,m,1); for (RG int i=0;i<m;++i) a[i]=1LL*a[i]*a[i]%rhl;
  NTT(a,m,-1); for (RG int i=0;i<=n;++i) a[i]=1LL*a[i]*fac[i]%rhl;
  for (RG int i=0;i<=n;++i)
    ans=(ans+1LL*a[i]*fac[n]%rhl*ifac[i]%rhl*ifac[n-i])%rhl;
  printf("%d
",ans); return 0;
}