RMQ问题（Sparse-Table算法）

　　范围最值问题（Range Minimum/maximum Query,RMQ）。给出一个哪个元素的数组A1，A2,...An，要求设计一个数据结构，支持查询操作：计算min(AL,AL+1,...,AR)或者max(AL,AL+1,...,AR)。每次都用一个循环来计算显然不够快，这里介绍Tarjan的Sparse-Table算法，它的预处理时间是O(nlogn)，查询时间是O(1)，因此效率更高。

　　令d(i,j)表示从i开始的，长度为2^j的一段元素的最小值，可以用递推的方法计算d(i, j): d(i, j) = min(d(i, j - 1), d(i + 2 ^{j -1}, j  - 1)}。

　　因为长度是2^j,因此d数组的大小不超过nlogn。递推代码如下：

void RMQ_init(const vector<int>& A) {
    int n = A.size();
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        d[i][0] = A[i];//以i开头，长度为1的最小值是A[i] 
    }
    
    for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {//再区间范围内枚举次方 
        for(int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++) {//枚举每一个开头，直到没有长度为2的j的区间 
            d[i][j] = min(d[i][j - 1], d[i + (1 << j) - 1][j - 1]);
        }
    }
} 

　　查询时另k为满足2^k<=R-L+1的最大整数，则以L开头、以R结尾的两个长度为2^k的区间合起来也就覆盖了查询区间[L, R]。查询代码如下：

int RMQ_query(int L, int R) {
    int k = 0;
    while((1 << (k + 1)) <= R - L + 1) k++;//若2的k+1次方<= R - L + 1,则k还可以加1 
    return min(d[L][k], d[R - (1 << k) + 1][k]);
} 

　　下面看一道例题：UVa 11235 Frequent values

　　题意是给出一个非降序的整数数组a1,a2,a3...a4,a5,你的任务是对于一系列询问（i, j）,回答在此区间中出现次数最多的值所出现的次数。

　　刚看可能觉得和区间最值查询没有什么联系，我们仔细分析一下，由于数组是非降序的，可以知道数值相同的元素一定是聚在一起的，我们将整个数组进行游程编码，比如-1,1,1,2,3,3,可以写成（-1,1），（1,2），（2,1），（3,2），其中（a，b）表示有b个连续的a。我们用value[i]和count[i]分别表示第i段的数值和出现的次数，num[p]，left[p],right[p]，分别表示位置p所在段的编号和左右端点位置。接下来每次查询（L,R）的结果就是以下三个部分的最大值：

　　从L到L所在段的结束处的元素个数（即right[L] - L + 1）

　　从R所在段的开始处到R处的元素个数（即R - left[R] + 1）

　　中间第num[L] + 1段到第num[R] - 1段的count的最大值（终于用到区间查询最大值，在（num[L] + 1， num[R] - 1）中的最大值）

需要注意的特殊情况是：如果L和R在同一段中，则答案是R - L + 1。

　　具体参考代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn = 100000 + 10;
const int maxlog = 20; 
 
struct RMQ {
    int d[maxn][maxlog];//以i为开头，长度为1<<j的最值 
    void init(const vector<int>& A) {
        int n = A.size();
        for(int i = 0; i < n; i++)
            d[i][0] = A[i];//初始化 
        for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
            for(int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++) {
                d[i][j] = max(d[i][j - 1], d[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            }
        }
    }
    int query(int L, int R) {
        int k = 0;
        while((1 << (k + 1)) <= R - L + 1)    k++;
        return max(d[L][k], d[R - (1 << k) + 1][k]);
    }
};

int a[maxn], num[maxn], right[maxn], left[maxn];
RMQ rmq;

int main()
{
    int n, q;
    while(scanf("%d%d", &n, &q) == 2 && n != 0) {
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        a[n] = a[n - 1] + 1;//放置一个哨兵 
        
        int start = -1;
        vector<int> count;
        for(int i = 0; i <= n; i++) {
            if(i == 0 || a[i] > a[i - 1]) {//新一段的开始
                if(i > 0) {
                    count.push_back(i - start);
                    for(int j = start; j < i; j++) {
                        num[j] = count.size() - 1;
                        left[j] = start;
                        right[j] = i - 1;
                    }
                } 
                start = i;
            } 
        }    
        rmq.init(count);//将每段值出现的次数作为查询的内容 
        
        int L, R, ans;
        while(q--) {
            scanf("%d%d", &L, &R);
            L--;R--;
            if(num[L] == num[R])    
                ans = R - L + 1;
            else {
                ans = max(R - left[R] + 1, right[L] - L + 1);
                if(num[L] + 1 < num[R])
                    ans = max(ans, rmq.query(num[L] + 1, num[R] - 1));                    
            }            
            printf("%d
", ans);
        }
    }    
    return 0;
}