• The 15th UESTC Programming Contest Preliminary G

    地址：http://acm.uestc.edu.cn/#/problem/show/1564

    题目：

    G - GC?(X,Y)

    Time Limit: 3000/1000MS (Java/Others)     Memory Limit: 131071/131071KB (Java/Others)

    One positive integer can be represented by the product of some prime numbers.

    Sort the prime numbers, such like 60=2∗2∗3∗560=2∗2∗3∗5, 180=2∗2∗3∗3∗5180=2∗2∗3∗3∗5.

    The GCPGCP(Greatest Common Prefix) of two positive integers is defined as the longest prefix of the multiplication of sorted prime numbers.

    For example, GCP(60,180)=Longest_Prefix(2∗2∗3∗5,2∗2∗3∗3∗5)=2∗2∗3=12GCP(60,180)=Longest_Prefix(2∗2∗3∗5,2∗2∗3∗3∗5)=2∗2∗3=12.

    Now, for a given array AiAi, calculate

    ∑1≤i<j≤NGCP(Ai,Aj)∑1≤i<j≤NGCP(Ai,Aj)
    .

     

    Input

    The first line contains a number NN.

    The second line contains NN integers AiAi.

    1≤N≤105,1≤Ai≤1071≤N≤105,1≤Ai≤107

    Output

    Output the sum described above.

    Sample input and output

    Sample InputSample Output
     
    5
1 2 8 5 10
    		 
    13

    Hint

    In the sample,

    GCP(1,2)=GCP(1,8)=GCP(1,5)=GCP(1,10)=GCP(2,5)=GCP(8,5)=GCP(5,10)=1GCP(1,2)=GCP(1,8)=GCP(1,5)=GCP(1,10)=GCP(2,5)=GCP(8,5)=GCP(5,10)=1,

    GCP(2,8)=GCP(2,10)=GCP(8,10)=2GCP(2,8)=GCP(2,10)=GCP(8,10)=2.

     题解：
    　　第一步肯定是先把所有数分解质因数。时间复杂度O(1e7+n*sqrt(n))
    　　后面求最大公共前缀的做法有三种：
    　　1.把所有质因数乘积表达式插入trie树中，然后O(n)遍历所有节点计算答案即可。
    　　　　分析：1e7内的树最多分解成10个不同的质数乘积，25个可重复质数的乘积。
    　　　　1e5个数分解成质因数后，所含的质数不会太多，应该在1e5~2e6之间（具体多少我也不清楚，队友算过，但我忘了）
    　　　　可以对出现的质因数哈希一下，然后插入trie树中，每个节点最少记录两个值end，sum。
    　　　　end：到该节点结尾的数的数量。
    　　　　sum：经过该节点的数的数量（包括在该节点结尾的数）
    　　　　由上可知trie树上的节点不会超过25n，一般情况远远小于这个数。
    　　　　trie要选用动态分配内存的方法或者左儿子右兄弟的建树方法（也就是改成二叉树），不然mle。
    　　　　不过我用动态分配内存的trie树时还是mle了，改了半天还没卡过去，其他队倒是好多人卡过去了（不过他们可能用的左儿子右兄弟的trie树）
    　　　　左儿子右兄弟的trie树：
    　　　　　　　　节省空间复杂度，除去了用节点，但是增加了时间复杂度。但只是增加时间复杂度的常数。（对于这题还是十分适用的）
    　　　　遍历trie树即可计算答案，可用前缀和优化。
    　　　　时间复杂度O(25n)，空间复杂度看trie树建法
    　　2.把所有质因数乘积表达式当做字符串从小到大排序，然后对每个表达式二分最远匹配点，并计算答案。
    　　　　排序函数cmp：根据两质因数乘积表达式第i个质数的大小，和质数个数排序。
    　　　　二分：
    　　　　　　对于第i个数，通过二分求出所有前缀所能匹配到的最远位置。
    　　　　　　然后对于倒序计算这些前缀的贡献。
    　　　　为什么要倒序，请看下例：
    　　　　　　2*2，2*2*2,2*5　　
    　　　　　　计算第一个数2*2的匹配位置数列是2,1.（从0开始计数）
    　　　　　　此时计算第二个2所能匹配的位置的贡献（前缀）2*2  * （1-0）（最远匹配长度）
    　　　　　　计算第一个2所能匹配的位置的贡献（前缀）2*2  * （2-1）（最远长度减上一个质数的匹配长度）

     　　　时间复杂度：O(nlogn+25nlogn)

    　　3.哈希前缀

    　　PS:比赛时一开始想二分算法，结果因为听到其他人用trie数过了，然后就一直怼trie然后。。。gg！
    　　要是坚定自己的想法就好了，可惜了。。。
    　　实现难度t：rie树远大于二分
    　　（如果讲错请各位指教）
    　　二分ac代码： 
     1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define PB push_back
 4 typedef long long LL;
 5 const int K=1e5+7;
 6 const int maxn=1e7+7;
 7 vector<int>num[K],va;
 8 vector<LL>vb;
 9 int n,pri[maxn],v[K],tol,tag[maxn];
10 LL ans;
11 bool cmp(const vector<int> &ta,const vector<int> &tb)
12 {
13     for(int i=0,j=min(ta.size(),tb.size());i<j;i++)
14     if(ta[i]!=tb[i])    return ta[i]<tb[i];
15     return ta.size()<tb.size();
16 }
17 void init(void)
18 {
19     for (int i = 2; i * i < maxn; i++)
20     {
21         if (tag[i]) continue;
22         for (int j = i; j * j < maxn; j++)
23             tag[i*j] = 1;
24     }
25     for (int i = 2; i < maxn; i++)
26         if (!tag[i])
27             pri[tol++] = i;
28     for(int i=0; i<n; i++)
29     {
30         int t=v[i];
31         num[i].PB(1);
32         for(int j=0; pri[j]*pri[j]<=t; j++)
33         {
34             if(v[i]%pri[j]) continue;
35             while(v[i]%pri[j]==0)   v[i]/=pri[j],num[i].PB(pri[j]);
36         }
37         if(v[i]>1)  num[i].PB(v[i]);
38     }
39 }
40 void bs(int x)
41 {
42     int sum=1;
43     int l,r,mid,tmp=n-1;
44     va.clear(),vb.clear();
45     for(int i=0;i<num[x].size();i++)
46     {
47         l=x,r=tmp;
48         while(l<=r)
49         {
50             mid=(l+r)/2;
51             if(num[mid].size()>i&&num[mid][i]==num[x][i])
52                 tmp=mid,l=mid+1;
53             else
54                 r=mid-1;
55         }
56         sum*=num[x][i];
57         va.PB(tmp),vb.PB(sum);
58     }
59     for(int i=num[x].size()-1,ls=x;i>=0;i--)
60         ans+=vb[i]*(va[i]-ls),ls=va[i];
61 }
62 int main(void)
63 {
64     scanf("%d",&n);
65     for(int i=0;i<n;i++)
66         scanf("%d",v+i);
67     init();
68     sort(num,num+n,cmp);
69     for(int i=0;i<n;i++)
70         bs(i);
71     cout<<ans<<endl;
72     return 0;
73 }

    　　动态分配内存的trie树，未ac，mle16了，不想改成左儿子右兄弟了：

      1 #include <bits/stdc++.h>
  2 
  3 using namespace std;
  4 
  5 #define MP make_pair
  6 #define PB push_back
  7 #define MAXNUM 27500
  8 typedef long long LL;
  9 typedef pair<int,int> PII;
 10 const double eps=1e-8;
 11 const double pi=acos(-1.0);
 12 const int K=1e5+7;
 13 const int mod=1e9+7;
 14 const int maxn=1e7+7;
 15 
 16 
 17 vector<int>num[K];
 18 map<int,int>hs;
 19 int n,pri[maxn],v[K],tol,tag[maxn];
 20 int ths[K];
 21 LL ans;
 22 void make_prime()
 23 {
 24     for (int i = 2; i * i < maxn; i++)
 25     {
 26         if (tag[i])
 27             continue;
 28         for (int j = i; j * j < maxn; j++)
 29             tag[i*j] = 1;
 30     }
 31     for (int i = 2; i < maxn; i++)
 32         if (!tag[i])
 33             pri[tol++] = i;
 34 }
 35 void init()
 36 {
 37     for(int i=0; i<n; i++)
 38     {
 39         int t=v[i];
 40         num[i].PB(1);
 41         for(int j=0; pri[j]*pri[j]<=t; j++)
 42         {
 43             if(v[i]%pri[j]) continue;
 44             while(v[i]%pri[j]==0)   v[i]/=pri[j],num[i].PB(pri[j]);
 45         }
 46         if(v[i]>1)  num[i].push_back(v[i]);
 47     }
 48 }
 49 typedef struct Trie
 50 {
 51     int sum,ed;
 52     Trie *next[MAXNUM];
 53 }Trie;
 54 Trie *root;
 55 void TrieInit(int sz)
 56 {
 57     root = (Trie *)malloc(sizeof(Trie));
 58     root->sum=root->ed=0;
 59     for(int i=0;i<sz;i++)
 60         root->next[i]=NULL;
 61     for(int j=0;j<n;j++)
 62     {
 63         Trie *tem=root;
 64         for(int i=0;i<num[j].size();i++)
 65         {
 66             //printf("x=%d:%d %d
",j,num[j][i],hs[num[j][i]]);
 67             if(tem->next[hs[num[j][i]]]==NULL)
 68             {
 69                 Trie *cur = (Trie *)malloc(sizeof(Trie));
 70                 for(int k=0;k<sz;k++)
 71                     cur->next[k]=NULL;
 72                 cur->sum=cur->ed=0;
 73                 tem->next[hs[num[j][i]]]=cur;
 74             }
 75             tem = tem->next[hs[num[j][i]]];
 76             tem->ed++;
 77         }
 78         tem->sum++;
 79     }
 80 }
 81 void dfs(Trie *x,LL y,int sz)
 82 {
 83     Trie *tem = x,*cur;
 84     LL ta=0,tb=0,ff=0;
 85     if(tem->ed-tem->sum>0)
 86     for(int i=0;i<sz;i++)
 87     if(tem->next[i]!=NULL)
 88     {
 89         cur=tem->next[i],ff++;
 90         tb+=ta*cur->ed;
 91         ta+=cur->ed;
 92         if(cur->ed)dfs(cur,y*ths[i],sz);
 93     }
 94     if(ff>1||tem->sum>0)
 95         ans+=y*tb+y*tem->sum*(tem->ed-tem->sum)+y*tem->sum*(tem->sum-1)/2LL;
 96 
 97 }
 98 
 99 int main(void)
100 {
101     int cnt=0;
102     scanf("%d",&n);
103     make_prime();
104     for(int i=0;i<n;i++)
105         scanf("%d",v+i);
106     init();
107     for(int i=0;i<n;i++)
108     {
109         //printf("x=%d: ",i);
110         for(int j=0;j<num[i].size();j++,cnt++)
111             //printf("%d ",num[i][j]),
112             ths[cnt]=num[i][j];
113         //printf("
");
114     }
115     sort(ths,ths+cnt);
116     int sz=unique(ths,ths+cnt)-ths;
117     for(int i=0;i<sz;i++)
118         hs[ths[i]]=i;
119     TrieInit(sz);
120     for(int i=0;i<sz;i++)
121     if(root->next[i]!=NULL)
122         dfs(root->next[i],ths[i],sz);
123     cout<<ans<<endl;
124     return 0;
125 }

     

     
    　　　　
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