题面
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5015
题解
首先把k=1,k=2,k=3的手推一遍
然后发现一些规律 就是数列可以表示成$a_i=2a_{i-1}+f(i)$的形式
然后f(i)算一算之后我们得到
然后我们试图求这个东西的通项公式
我们要把它变成$a_i+f(i)=2(a_{i-1}+f(i-1))$的形式就好了
那么我们设
一共k个变量 对于每一个$n^i$我们根据他的系数可以列一个方程 一共k个方程
所以高斯消元把它解出来就结束了
Code
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 5 ll read(){ 6 ll x=0,f=1;char c=getchar(); 7 while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} 8 while(c>='0' && c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();} 9 return x*f; 10 } 11 12 const ll mod=1000000007ll; 13 ll n; 14 int k; 15 ll mat[20][20]; 16 17 ll calc(ll a,ll b){ 18 ll ret=1; 19 for(int i=1;i<=b;i++) 20 ret=ret*(a-i+1)/i; 21 return ret%mod; 22 } 23 24 ll ksm(ll a,ll b){ 25 if(b==0) return 1; 26 ll nw=1; 27 if(b==1) return a%mod; 28 if(b&1) nw=a; 29 ll ret=ksm(a,b/2); 30 return ret*(nw%mod)%mod*ret%mod; 31 } 32 33 inline ll pd(ll x){ 34 if(x&1) return -1; 35 return 1; 36 } 37 ll ans[20]; 38 39 int main(){ 40 #ifdef LZT 41 //freopen("in","r",stdin); 42 #endif 43 n=read(),k=read(); 44 for(int i=1;i<=k;i++){ 45 mat[i][0]=calc(k,i)*pd(i+1); 46 mat[i][i]--; 47 int st=i-1; 48 for(int j=1;j<=i;j++) 49 mat[i][j]+=(2*calc(k-j,st)*pd(st--)); 50 } 51 for(int i=1;i<=k;i++){ 52 ll nw=0; 53 for(int j=1;j<i;j++) nw=nw+mat[i][j]*ans[j]; 54 ans[i]=(mat[i][0]-nw)/mat[i][i]; 55 } 56 for(int i=1;i<=k;i++) 57 ans[i]=ans[i]%mod; 58 ll res=ans[k]*ksm(2,n)%mod; 59 for(int i=1;i<=k;i++){ 60 ll nw=ans[i]*ksm(n,k-i)%mod; 61 res=(res-nw+mod)%mod; 62 } 63 printf("%lld ",res); 64 65 return 0; 66 }
Review
这样做的动机?
就是先把k=2,k=3的情况推了一下 然后发现很相似 f(i)的次数与k相关而k很小 只有10
然后就试图用程序表达手推的过程 发现消元就可以了 然后就做了出来